《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

21. (10分)已知关于$x的一元二次方程5x^{2}+kx-6= 0$.
(1) 求证:无论$k$为何值,方程总有两个不等的实数根;
(2) 若方程的一个根为2,求$k$的值和方程的另一个根.

答案：
(1)证明：在方程$5x^{2}+kx - 6=0$中，$\Delta =k^{2}-4×5×(-6)=k^{2}+120$。因为无论$k$为何值，$k^{2}\geq0$，所以$k^{2}+120＞0$，即$\Delta＞0$。因此，无论$k$为何值，方程总有两个不等的实数根。
(2)解：设方程的另一个根为$x_{1}$。已知方程的一个根为$2$，根据韦达定理可得：
$\begin{cases}2 + x_{1}=-\dfrac{k}{5}\\2x_{1}=-\dfrac{6}{5}\end{cases}$
由$2x_{1}=-\dfrac{6}{5}$，解得$x_{1}=-\dfrac{3}{5}$。
将$x_{1}=-\dfrac{3}{5}$代入$2 + x_{1}=-\dfrac{k}{5}$，得$2+\left(-\dfrac{3}{5}\right)=-\dfrac{k}{5}$，即$\dfrac{7}{5}=-\dfrac{k}{5}$，解得$k = - 7$。
所以$k$的值为$-7$，方程的另一个根为$-\dfrac{3}{5}$。

22. (10分)某市为积极响应全民阅读的号召,春节期间,面向社会开放市图书馆.据统计,第一天进馆1000人次,第三天进馆1210人次.已知进馆人次逐日增加.
(1) 求前三天进馆人次的日平均增长率.
(2) 根据营业要求,市图书馆每天接纳的人次不得超过2000,在进馆人次的日平均增长率不变的条件下,市图书馆能否完全接纳第四天的进馆人次? 请说明理由.

答案：
(1)设前三天进馆人次的日平均增长率为$x$，根据题意得：$1000(1 + x)^2 = 1210$，解得$x_1 = 0.1 = 10\%$，$x_2 = -2.1$（不合题意，舍去）。答：前三天进馆人次的日平均增长率为$10\%$。
(2)第四天进馆人次为$1210×(1 + 10\%) = 1331$（人次），因为$1331 ＜ 2000$，所以市图书馆能完全接纳第四天的进馆人次。答：能完全接纳。