《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

17. 已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c的图象过点(1,3)$,$(4,0)$. 若当$1＜x＜4$时,$y随x$的增大而减小,则实数$a$的取值范围是$-\frac{1}{3}\leq a＜0$或$0＜a\leq\frac{1}{3}$.

答案： 解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$过点$(1,3)$，$(4,0)$，
∴$\begin{cases}a+b+c=3\\16a+4b+c=0\end{cases}$，
解得$b=-5a-1$。
二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{5a+1}{2a}$。
当$1＜x＜4$时，$y$随$x$增大而减小，分两种情况：
情况1： $a＞0$时，抛物线开口向上，需满足对称轴$x\geq4$，
即$\frac{5a+1}{2a}\geq4$，
$5a+1\geq8a$，
$3a\leq1$，
$a\leq\frac{1}{3}$，
∴$0＜a\leq\frac{1}{3}$。
情况2： $a＜0$时，抛物线开口向下，需满足对称轴$x\leq1$，
即$\frac{5a+1}{2a}\leq1$，
$5a+1\geq2a$（不等式两边乘负数$2a$，不等号变向），
$3a\geq-1$，
$a\geq-\frac{1}{3}$，
∴$-\frac{1}{3}\leq a＜0$。
综上，$a$的取值范围是$-\frac{1}{3}\leq a＜0$或$0＜a\leq\frac{1}{3}$。
答案：$-\frac{1}{3}\leq a＜0$或$0＜a\leq\frac{1}{3}$

18. 已知关于$x的二次函数y= mx^{2}-2mx+n的最小值为4$,设$z= m-n^{2}+5n$,则$z$的取值范围是______$z ＜ 4$.

答案： 解：
∵二次函数 $ y = mx^2 - 2mx + n $ 有最小值，
∴ $ m ＞ 0 $。
配方得：$ y = m(x-1)^2 + n - m $，
当 $ x = 1 $ 时，$ y_{\text{min}} = n - m = 4 $，即 $ n = m + 4 $。
代入 $ z = m - n^2 + 5n $，得：
$ z = m - (m + 4)^2 + 5(m + 4) $
化简：$ z = -m^2 - 2m + 4 $
即 $ z = -(m + 1)^2 + 5 $。
∵ $ m ＞ 0 $，抛物线开口向下，对称轴 $ m = -1 $，
∴当 $ m ＞ 0 $ 时，$ z $ 随 $ m $ 增大而减小，
当 $ m = 0 $ 时，$ z = 4 $，但 $ m ＞ 0 $，故 $ z ＜ 4 $。
综上，$ z $ 的取值范围是 $ z ＜ 4 $。
答案：$ z ＜ 4 $

19. (10分)已知二次

函

数图象的顶点坐标为$A(1,9)$,且经过点$(-1,5)$.
(1) 求该二次函数的解析式;
(2) 若该二次函数的图象与$x轴的交点为B$,$C$(点$B在点C$的左侧),求$\triangle ABC$的面积.

答案：
(1) 解：设二次函数的解析式为$y=a(x-1)^2+9$，将点$(-1,5)$代入得：
$5=a(-1-1)^2+9$
$5=4a+9$
$4a=-4$
$a=-1$
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-(x-1)^2+9$
(2) 解：令$y=0$，则$-(x-1)^2+9=0$
$(x-1)^2=9$
$x-1=\pm3$
$x_1=4$，$x_2=-2$
$\because$点$B$在点$C$的左侧
$\therefore B(-2,0)$，$C(4,0)$
$\therefore BC=4-(-2)=6$
$\because A(1,9)$
$\therefore S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×6×9=27$

20. (10分)某商店销售一种商品,进价是每件$40$元. 据市场调查发现,当销售价为每件$60$元时,平均每天的销售量是$300$件,而每件的销售价每降低$1$元,平均每天就可多售出$20$件. 设每件商品降价$x$元,该商店平均每天销售这种商品获得的利润是$y$元.
(1) 求$y与x$之间的函数解析式(不需要写出自变量$x$的取值范围).
(2) 当每件商品的销售价是多少元时,该商店平均每天销售这种商品获得的利润最大?最大利润是多少?

答案：
(1) 解：由题意得，每件商品的利润为$(60 - 40 - x)$元，销售量为$(300 + 20x)$件。
则$y=(60 - 40 - x)(300 + 20x)$
$=(20 - x)(300 + 20x)$
$=20×300 + 20×20x - 300x - 20x^2$
$=6000 + 400x - 300x - 20x^2$
$=-20x^2 + 100x + 6000$
(2) 解：$y=-20x^2 + 100x + 6000$，其中$a=-20$，$b=100$，$c=6000$。
因为$a=-20\lt0$，所以抛物线开口向下，函数有最大值。
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{100}{2×(-20)}=2.5$
当$x=2.5$时，销售价为$60 - 2.5=57.5$（元）
最大利润$y=-20×(2.5)^2 + 100×2.5 + 6000$
$=-20×6.25 + 250 + 6000$
$=-125 + 250 + 6000$
$=125 + 6000=6125$（元）
答：当每件商品的销售价是57.5元时，该商店平均每天销售这种商品获得的利润最大，最大利润是6125元。