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26. (14分)
(1) 如图①,等边三角形$ABC内有一点P$,若点$P到顶点A$,$B$,$C$的距离分别为3,4,5,求$\angle APB$的度数.
为了解决问题,我们可以将$\triangle ABP绕顶点A旋转到\triangle ACP'$处,此时$\triangle ACP'\cong\triangle ABP$,这样就可以利用旋转变换,将三条线段$PA$,$PB$,$PC$转化到一个三角形中,从而求出$\angle APB$的度数为
(2) 请你利用(1)中的解题思路,解答下面的问题:
如图②,在$\triangle ABC$中,$\angle CAB= 90^{\circ}$,$AB= AC$,$E$,$F为BC$上的点,且$\angle EAF= 45^{\circ}$.求证:$EF^2= BE^2+FC^2$.
证明：将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ACE'，则△ABE≌△ACE'，
∴AE=AE'，BE=CE'，∠BAE=∠CAE'，∠B=∠ACE'，
∵∠BAC=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠CAE'+∠CAF=∠E'AF=45°=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△EAF≌△E'AF(SAS)，
∴EF=E'F，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE'=45°，
∴∠E'CF=∠ACB+∠ACE'=90°，
在Rt△E'CF中，E'F²=CE'²+FC²，
∴EF²=BE²+FC².
(3) 如图③,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 1$,$\angle ABC= 30^{\circ}$,$O为Rt\triangle ABC$内一点,连接$AO$,$BO$,$CO$,且$\angle AOC= \angle COB= \angle BOA= 120^{\circ}$,求$AO+BO+CO$的值.
解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A'O'B，连接OO'，
则△AOB≌△A'O'B，AO=A'O，BO=BO'，∠AOB=∠A'O'B=120°，∠OBO'=60°，
∴△BOO'为等边三角形，OO'=BO，∠BOO'=∠BO'O=60°，
∴∠A'O'O=∠A'O'B-∠BO'O=60°，∠COO'=∠COB-∠BOO'=60°，
∠A'O'C=360°-∠A'O'O-∠COO'=180°，即A'，O'，O，C共线，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，BC=√3，
设AO=x，BO=y，CO=z，A'C=AO+BO+CO=x+y+z，
∵∠A'BC=∠ABC+∠OBO'=90°，A'B=AB=2，
∴A'C=√(BC²+A'B²)=√((√3)²+2²)=√7，
∴AO+BO+CO=√7.
(1) 如图①,等边三角形$ABC内有一点P$,若点$P到顶点A$,$B$,$C$的距离分别为3,4,5,求$\angle APB$的度数.
为了解决问题,我们可以将$\triangle ABP绕顶点A旋转到\triangle ACP'$处,此时$\triangle ACP'\cong\triangle ABP$,这样就可以利用旋转变换,将三条线段$PA$,$PB$,$PC$转化到一个三角形中,从而求出$\angle APB$的度数为
150°
.(2) 请你利用(1)中的解题思路,解答下面的问题:
如图②,在$\triangle ABC$中,$\angle CAB= 90^{\circ}$,$AB= AC$,$E$,$F为BC$上的点,且$\angle EAF= 45^{\circ}$.求证:$EF^2= BE^2+FC^2$.
证明：将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ACE'，则△ABE≌△ACE'，
∴AE=AE'，BE=CE'，∠BAE=∠CAE'，∠B=∠ACE'，
∵∠BAC=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠CAE'+∠CAF=∠E'AF=45°=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△EAF≌△E'AF(SAS)，
∴EF=E'F，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE'=45°，
∴∠E'CF=∠ACB+∠ACE'=90°，
在Rt△E'CF中，E'F²=CE'²+FC²，
∴EF²=BE²+FC².
(3) 如图③,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$AC= 1$,$\angle ABC= 30^{\circ}$,$O为Rt\triangle ABC$内一点,连接$AO$,$BO$,$CO$,且$\angle AOC= \angle COB= \angle BOA= 120^{\circ}$,求$AO+BO+CO$的值.
解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A'O'B，连接OO'，
则△AOB≌△A'O'B，AO=A'O，BO=BO'，∠AOB=∠A'O'B=120°，∠OBO'=60°，
∴△BOO'为等边三角形，OO'=BO，∠BOO'=∠BO'O=60°，
∴∠A'O'O=∠A'O'B-∠BO'O=60°，∠COO'=∠COB-∠BOO'=60°，
∠A'O'C=360°-∠A'O'O-∠COO'=180°，即A'，O'，O，C共线，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，BC=√3，
设AO=x，BO=y，CO=z，A'C=AO+BO+CO=x+y+z，
∵∠A'BC=∠ABC+∠OBO'=90°，A'B=AB=2，
∴A'C=√(BC²+A'B²)=√((√3)²+2²)=√7，
∴AO+BO+CO=√7.
答案：
(1) 150°
(2) 证明：将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ACE'，则△ABE≌△ACE'，
∴AE=AE'，BE=CE'，∠BAE=∠CAE'，∠B=∠ACE'，
∵∠BAC=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠CAE'+∠CAF=∠E'AF=45°=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△EAF≌△E'AF(SAS)，
∴EF=E'F，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE'=45°，
∴∠E'CF=∠ACB+∠ACE'=90°，
在Rt△E'CF中，E'F²=CE'²+FC²，
∴EF²=BE²+FC².
(3) 解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A'O'B，连接OO'，
则△AOB≌△A'O'B，AO=A'O，BO=BO'，∠AOB=∠A'O'B=120°，∠OBO'=60°，
∴△BOO'为等边三角形，OO'=BO，∠BOO'=∠BO'O=60°，
∴∠A'O'O=∠A'O'B-∠BO'O=60°，∠COO'=∠COB-∠BOO'=60°，
∠A'O'C=360°-∠A'O'O-∠COO'=180°，即A'，O'，O，C共线，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，BC=√3，
设AO=x，BO=y，CO=z，A'C=AO+BO+CO=x+y+z，
∵∠A'BC=∠ABC+∠OBO'=90°，A'B=AB=2，
∴A'C=√(BC²+A'B²)=√((√3)²+2²)=√7，
∴AO+BO+CO=√7.
(1) 150°
(2) 证明：将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ACE'，则△ABE≌△ACE'，
∴AE=AE'，BE=CE'，∠BAE=∠CAE'，∠B=∠ACE'，
∵∠BAC=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠CAF=45°，
∴∠CAE'+∠CAF=∠E'AF=45°=∠EAF，
∵AF=AF，
∴△EAF≌△E'AF(SAS)，
∴EF=E'F，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∴∠ACE'=45°，
∴∠E'CF=∠ACB+∠ACE'=90°，
在Rt△E'CF中，E'F²=CE'²+FC²，
∴EF²=BE²+FC².
(3) 解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A'O'B，连接OO'，
则△AOB≌△A'O'B，AO=A'O，BO=BO'，∠AOB=∠A'O'B=120°，∠OBO'=60°，
∴△BOO'为等边三角形，OO'=BO，∠BOO'=∠BO'O=60°，
∴∠A'O'O=∠A'O'B-∠BO'O=60°，∠COO'=∠COB-∠BOO'=60°，
∠A'O'C=360°-∠A'O'O-∠COO'=180°，即A'，O'，O，C共线，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，BC=√3，
设AO=x，BO=y，CO=z，A'C=AO+BO+CO=x+y+z，
∵∠A'BC=∠ABC+∠OBO'=90°，A'B=AB=2，
∴A'C=√(BC²+A'B²)=√((√3)²+2²)=√7，
∴AO+BO+CO=√7.
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