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11. 将方程$2(x-1)^{2}= 3-5x$化成一般形式为
$2x^{2} + x - 1 = 0$
.
答案：
【解析】：
本题主要考查将一元二次方程化为一般形式的能力。
一般形式的一元二次方程为：$ax^{2} + bx + c = 0$。
原方程为：$2(x-1)^{2} = 3-5x$。
首先，将$(x-1)^{2}$展开，得到$x^{2} - 2x + 1$。
然后，将其乘以2，得到$2x^{2} - 4x + 2$。
接着，将这个表达式与$3-5x$相等，得到$2x^{2} - 4x + 2 = 3 - 5x$。
最后，移项，使所有项都在等号的一侧，得到$2x^{2} + x - 1 = 0$。
【答案】：
$2x^{2} + x - 1 = 0$。
本题主要考查将一元二次方程化为一般形式的能力。
一般形式的一元二次方程为：$ax^{2} + bx + c = 0$。
原方程为：$2(x-1)^{2} = 3-5x$。
首先，将$(x-1)^{2}$展开，得到$x^{2} - 2x + 1$。
然后，将其乘以2，得到$2x^{2} - 4x + 2$。
接着，将这个表达式与$3-5x$相等，得到$2x^{2} - 4x + 2 = 3 - 5x$。
最后，移项，使所有项都在等号的一侧，得到$2x^{2} + x - 1 = 0$。
【答案】：
$2x^{2} + x - 1 = 0$。
12. 已知关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx-3= 0的一个根是x= -1$,则$2025-a+b= $
2022
.
答案：
【解析】：
本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的求值。
首先，根据题目条件，$x = -1$是方程$ax^{2} + bx - 3 = 0$的一个根。
根据一元二次方程根的定义，如果$x = -1$是该方程的一个根，那么将$x = -1$代入方程，应该使方程成立。
即：
$a(-1)^{2} + b(-1) - 3 = 0$
$a - b - 3 = 0$
$a - b = 3$
接下来，我们需要求$2025 - a + b$的值。
根据上面求出的$a - b = 3$，我们可以将其代入：
$2025 - a + b = 2025 - (a - b) = 2025 - 3 = 2022$
【答案】：
$2022$
本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及代数式的求值。
首先，根据题目条件，$x = -1$是方程$ax^{2} + bx - 3 = 0$的一个根。
根据一元二次方程根的定义，如果$x = -1$是该方程的一个根，那么将$x = -1$代入方程，应该使方程成立。
即：
$a(-1)^{2} + b(-1) - 3 = 0$
$a - b - 3 = 0$
$a - b = 3$
接下来，我们需要求$2025 - a + b$的值。
根据上面求出的$a - b = 3$，我们可以将其代入：
$2025 - a + b = 2025 - (a - b) = 2025 - 3 = 2022$
【答案】：
$2022$
13. 已知关于$x的方程x^{2}-2x+n= 0的一个根是1+\sqrt{5}$,则它的另一个根是
$1 - \sqrt{5}$
.
答案：
【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
根据一元二次方程的根与系数的关系，若方程$ax^{2} + bx + c = 0$的两个根为$x_{1}$和$x_{2}$，则有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$，
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$，
对于给定的方程$x^{2} - 2x + n = 0$，其系数$a = 1, b = -2, c = n$。
已知其中一个根为$1 + \sqrt{5}$，设另一个根为$x_{2}$，则根据根与系数的关系有：
$(1 + \sqrt{5}) + x_{2} = 2$，
从上式可以解出：
$x_{2} = 2 - (1 + \sqrt{5}) = 1 - \sqrt{5}$，
【答案】：
$1 - \sqrt{5}$。
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
根据一元二次方程的根与系数的关系，若方程$ax^{2} + bx + c = 0$的两个根为$x_{1}$和$x_{2}$，则有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$，
$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$，
对于给定的方程$x^{2} - 2x + n = 0$，其系数$a = 1, b = -2, c = n$。
已知其中一个根为$1 + \sqrt{5}$，设另一个根为$x_{2}$，则根据根与系数的关系有：
$(1 + \sqrt{5}) + x_{2} = 2$，
从上式可以解出：
$x_{2} = 2 - (1 + \sqrt{5}) = 1 - \sqrt{5}$，
【答案】：
$1 - \sqrt{5}$。
14. 已知关于$x的一元二次方程x^{2}-5x+m= 0$.若方程的两个实数根分别为$x_{1},x_{2}$,且满足$3x_{1}-2x_{2}= 5$,则实数$m$的值为______
6
.
答案：
【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
首先，根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$x_{1} + x_{2} = 5$ （因为方程的系数是-5，所以两根之和为5），
$x_{1}x_{2} = m$ （因为常数项是m，所以两根之积为m）。
接着，我们利用给定的条件$3x_{1} - 2x_{2} = 5$，
可以解出$x_{1}$和$x_{2}$：
从$3x_{1} - 2x_{2} = 5$和$x_{1} + x_{2} = 5$两个方程中，
我们可以解出：
$x_{1} = 3$，
$x_{2} = 2$，
最后，我们利用$x_{1}x_{2} = m$，
代入$x_{1} = 3$和$x_{2} = 2$，
得到：
$m = 6$。
【答案】：
$m = 6$。
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系。
首先，根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$x_{1} + x_{2} = 5$ （因为方程的系数是-5，所以两根之和为5），
$x_{1}x_{2} = m$ （因为常数项是m，所以两根之积为m）。
接着，我们利用给定的条件$3x_{1} - 2x_{2} = 5$，
可以解出$x_{1}$和$x_{2}$：
从$3x_{1} - 2x_{2} = 5$和$x_{1} + x_{2} = 5$两个方程中，
我们可以解出：
$x_{1} = 3$，
$x_{2} = 2$，
最后，我们利用$x_{1}x_{2} = m$，
代入$x_{1} = 3$和$x_{2} = 2$，
得到：
$m = 6$。
【答案】：
$m = 6$。
15. 某学生在某手机软件上发表了一份倡议书,规则如下:将倡议书发表在自己的手机软件上,再邀请$n$个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书后,继续邀请$n$个互不相同的好友转发倡议书,以此类推.已知经过两轮转发后,共有931人参与了转发活动,则可列方程为
$1 + n + n^{2} = 931$
.
答案：
【解析】：
本题考查的是一元二次方程的应用。
首先，学生自己在手机软件上发表了倡议书，这是1人。
然后，他邀请了$n$个好友转发倡议书，这是第一轮转发，增加了$n$人。
接着，每个第一轮转发的好友都邀请了$n$个互不相同的好友转发倡议书，这是第二轮转发，增加了$n × n = n^{2}$人。
根据题目，两轮转发后共有931人参与了转发活动。
因此，可以列出方程：
$1 + n + n^{2} = 931$
【答案】：
$1 + n + n^{2} = 931$
本题考查的是一元二次方程的应用。
首先，学生自己在手机软件上发表了倡议书，这是1人。
然后，他邀请了$n$个好友转发倡议书，这是第一轮转发，增加了$n$人。
接着，每个第一轮转发的好友都邀请了$n$个互不相同的好友转发倡议书，这是第二轮转发，增加了$n × n = n^{2}$人。
根据题目，两轮转发后共有931人参与了转发活动。
因此，可以列出方程：
$1 + n + n^{2} = 931$
【答案】：
$1 + n + n^{2} = 931$
16. 已知等腰三角形的三边长分别为$a,b,4$,且$a,b是关于x的一元二次方程x^{2}-12x+m+2= 0$的两个实数根,则$m$的值为______
34
.
答案：
【解析】：
本题主要考查等腰三角形的性质和一元二次方程的根与系数的关系。
首先，由于$a, b$是方程$x^{2} - 12x + m + 2 = 0$的两个实数根，根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$a + b = 12$
$ab = m + 2$
接下来，我们考虑等腰三角形的性质。由于等腰三角形的两腰相等，所以$a$和$b$中至少有一个是$4$，或者$a$和$b$相等。
当$a = 4$时，由$a + b = 12$，我们可以得到$b = 8$。但$4, 4, 8$不能构成三角形（不满足三角形的两边之和大于第三边的条件），所以这种情况应被舍去。
当$a = b$时，由$a + b = 12$，我们可以得到$a = b = 6$。此时，$ab = 36$，所以$m + 2 = 36$，解得$m = 34$。
另一种情况是考虑方程有一个根为$4$，即$a$或$b$中有一个为$4$，那么由根与系数的关系我们可以得到另一个根为$12-4=8$，由于不能构成三角形，我们需要考虑方程有两个相等的实数根且不为$4$的情况，即判别式$\Delta = 0$。
计算判别式：
$\Delta = (-12)^{2} - 4 × 1 × (m + 2) = 144 - 4m - 8 = 136 - 4m = 0$
解得：
$m = 34$（与前面的情况重复，因此不需要再考虑）
或考虑方程有两个相等实根且这个根与$4$构成等腰三角形，由根与系数关系知两根之和为$12$，则这个相等的实根为$\frac{12}{2}=6$，所以：
$6^2-12×6+m+2=0$
即：
$36-72+m+2=0$
解得：
$m=34$（与前面的解一致，验证了答案的正确性）
另一种可能是考虑$4$为等腰三角形的一腰，另一腰也为$4$，底边为方程的一个根，但由前面分析知，这样的情况下方程的根不可能与$4$和另一个$4$构成三角形，所以这种情况不成立。
综上所述，唯一符合条件的$m$值为$34$。
【答案】：
$34$
本题主要考查等腰三角形的性质和一元二次方程的根与系数的关系。
首先，由于$a, b$是方程$x^{2} - 12x + m + 2 = 0$的两个实数根，根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$a + b = 12$
$ab = m + 2$
接下来，我们考虑等腰三角形的性质。由于等腰三角形的两腰相等，所以$a$和$b$中至少有一个是$4$，或者$a$和$b$相等。
当$a = 4$时，由$a + b = 12$，我们可以得到$b = 8$。但$4, 4, 8$不能构成三角形（不满足三角形的两边之和大于第三边的条件），所以这种情况应被舍去。
当$a = b$时，由$a + b = 12$，我们可以得到$a = b = 6$。此时，$ab = 36$，所以$m + 2 = 36$，解得$m = 34$。
另一种情况是考虑方程有一个根为$4$，即$a$或$b$中有一个为$4$，那么由根与系数的关系我们可以得到另一个根为$12-4=8$，由于不能构成三角形，我们需要考虑方程有两个相等的实数根且不为$4$的情况，即判别式$\Delta = 0$。
计算判别式：
$\Delta = (-12)^{2} - 4 × 1 × (m + 2) = 144 - 4m - 8 = 136 - 4m = 0$
解得：
$m = 34$（与前面的情况重复，因此不需要再考虑）
或考虑方程有两个相等实根且这个根与$4$构成等腰三角形，由根与系数关系知两根之和为$12$，则这个相等的实根为$\frac{12}{2}=6$，所以：
$6^2-12×6+m+2=0$
即：
$36-72+m+2=0$
解得：
$m=34$（与前面的解一致，验证了答案的正确性）
另一种可能是考虑$4$为等腰三角形的一腰，另一腰也为$4$，底边为方程的一个根，但由前面分析知，这样的情况下方程的根不可能与$4$和另一个$4$构成三角形，所以这种情况不成立。
综上所述，唯一符合条件的$m$值为$34$。
【答案】：
$34$
17. 小强和小明玩猜数游戏,小强说:“一个两位数等于它个位上的数字的平方,个位上的数字比十位上的数字大3,求这个两位数.”小明想了一下,便说出了正确答案,这个两位数是
25或36
.
答案：
解：设这个两位数个位上的数字为$x$，则十位上的数字为$x - 3$。
根据题意，得$10(x - 3) + x = x^2$。
整理，得$x^2 - 11x + 30 = 0$。
解得$x_1 = 5$，$x_2 = 6$。
当$x = 5$时，十位数字为$5 - 3 = 2$，这个两位数是$25$；
当$x = 6$时，十位数字为$6 - 3 = 3$，这个两位数是$36$。
答：这个两位数是$25$或$36$。
根据题意，得$10(x - 3) + x = x^2$。
整理，得$x^2 - 11x + 30 = 0$。
解得$x_1 = 5$，$x_2 = 6$。
当$x = 5$时，十位数字为$5 - 3 = 2$，这个两位数是$25$；
当$x = 6$时，十位数字为$6 - 3 = 3$，这个两位数是$36$。
答：这个两位数是$25$或$36$。
18. 定义:如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,那么我们称这两个方程为“友好方程”.已知关于$x的一元二次方程x^{2}+3x+m-1= 0与x^{2}-2x= 0$为“友好方程”,则$m$的值为
1或-9
.
答案：
【解析】：
本题考查了一元二次方程的解的定义和方程的解法。
首先，我们解方程$x^{2} - 2x = 0$，通过因式分解，我们可以将其转化为$x(x-2)=0$，从而得到该方程的两个解，分别是$x=0$和$x=2$。
接着，我们将$x=0$代入方程$x^{2} + 3x + m - 1 = 0$，得到$m-1=0$，解得$m=1$。
然后，我们将$x=2$代入方程$x^{2} + 3x + m - 1 = 0$，得到$4+6+m-1=0$，即$m+9=0$，解得$m=-9$。
因此，我们可以得出$m$的两个可能值，分别是$m=1$或$m=-9$。
当$m=1$时，原方程变为$x^{2} + 3x = 0$，解得$x=0$或$x=-3$，符合题意，有一个相同实数根$x=0$。
当$m=-9$时，原方程变为$x^{2} + 3x - 10 = 0$，解得$x=2$或$x=-5$，符合题意，有一个相同实数根$x=2$。
所以，我们可以确定$m$的值为1或-9。
【答案】：
$m=1$或$m=-9$
本题考查了一元二次方程的解的定义和方程的解法。
首先，我们解方程$x^{2} - 2x = 0$，通过因式分解，我们可以将其转化为$x(x-2)=0$，从而得到该方程的两个解，分别是$x=0$和$x=2$。
接着，我们将$x=0$代入方程$x^{2} + 3x + m - 1 = 0$，得到$m-1=0$，解得$m=1$。
然后，我们将$x=2$代入方程$x^{2} + 3x + m - 1 = 0$，得到$4+6+m-1=0$，即$m+9=0$，解得$m=-9$。
因此，我们可以得出$m$的两个可能值，分别是$m=1$或$m=-9$。
当$m=1$时，原方程变为$x^{2} + 3x = 0$，解得$x=0$或$x=-3$，符合题意，有一个相同实数根$x=0$。
当$m=-9$时，原方程变为$x^{2} + 3x - 10 = 0$，解得$x=2$或$x=-5$，符合题意，有一个相同实数根$x=2$。
所以，我们可以确定$m$的值为1或-9。
【答案】：
$m=1$或$m=-9$
19. (16分)用适当的方法解下列方程:
(1) $(x-2)^{2}= 16$; (2) $x^{2}+4x-1= 0$;
(3) $2x^{2}-\sqrt{2}x+\frac{1}{4}= 0$; (4) $2x^{2}+5x= 18-11x$.
(1) $(x-2)^{2}= 16$; (2) $x^{2}+4x-1= 0$;
(3) $2x^{2}-\sqrt{2}x+\frac{1}{4}= 0$; (4) $2x^{2}+5x= 18-11x$.
答案：
【答案】：
(1) 解：
由 $(x-2)^{2}= 16$，
开平方得 $x-2 = \pm 4$，
解得 $x_{1} = 6$，$x_{2} = -2$。
(2) 解：
原方程为 $x^{2}+4x-1= 0$，
移项得 $x^{2}+4x = 1$，
配方得 $(x+2)^{2} = 5$，
开平方得 $x+2 = \pm \sqrt{5}$，
解得 $x_{1} = -2 + \sqrt{5}$，$x_{2} = -2 - \sqrt{5}$。
(3) 解：
原方程为 $2x^{2}-\sqrt{2}x+\frac{1}{4}= 0$，
其中 $a = 2$，$b = -\sqrt{2}$，$c = \frac{1}{4}$，
计算判别式 $\Delta = b^{2}-4ac = (-\sqrt{2})^{2}-4 × 2 × \frac{1}{4} = 0$，
由于 $\Delta = 0$，方程有两个相等的实数根，
解得 $x_{1} = x_{2} = \frac{-b}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
(4) 解：
原方程为 $2x^{2}+5x= 18-11x$，
移项整理得 $2x^{2}+16x-18=0$，
化简得 $x^{2}+8x-9=0$，
因式分解得 $(x+9)(x-1)=0$，
解得 $x_{1} = -9$，$x_{2} = 1$。
【答案】：
(1) 解：
由 $(x-2)^{2}= 16$，
开平方得 $x-2 = \pm 4$，
解得 $x_{1} = 6$，$x_{2} = -2$。
(2) 解：
原方程为 $x^{2}+4x-1= 0$，
移项得 $x^{2}+4x = 1$，
配方得 $(x+2)^{2} = 5$，
开平方得 $x+2 = \pm \sqrt{5}$，
解得 $x_{1} = -2 + \sqrt{5}$，$x_{2} = -2 - \sqrt{5}$。
(3) 解：
原方程为 $2x^{2}-\sqrt{2}x+\frac{1}{4}= 0$，
其中 $a = 2$，$b = -\sqrt{2}$，$c = \frac{1}{4}$，
计算判别式 $\Delta = b^{2}-4ac = (-\sqrt{2})^{2}-4 × 2 × \frac{1}{4} = 0$，
由于 $\Delta = 0$，方程有两个相等的实数根，
解得 $x_{1} = x_{2} = \frac{-b}{2a} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
(4) 解：
原方程为 $2x^{2}+5x= 18-11x$，
移项整理得 $2x^{2}+16x-18=0$，
化简得 $x^{2}+8x-9=0$，
因式分解得 $(x+9)(x-1)=0$，
解得 $x_{1} = -9$，$x_{2} = 1$。
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