《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

24. (13分)某网店购进了一批文化衫进行销售,文化衫的进价是每件40元,每月的销售量$y$(单位:件)与销售单价$x$(单位:元)之间的函数关系如图所示,设每月获得的利润为$W$元.
(1) 求$y与x$之间的函数解析式.当销售单价为多少元时,该网店销售这批文化衫每月获得的利润最大? 最大利润为多少?
(2) 该网店的营销部结合上述情况,提出了$A,B$两种营销方案.
方案$A$:销售单价高于进价且不超过60元;
方案$B$:每月销售量不少于220件,且每件文化衫的利润至少为35元.
试判断哪种方案的最大利润更高,并说明理由.

答案：
(1)设$y$与$x$之间的函数解析式为$y=kx+b$，将$(40,600)$，$(80,200)$代入得：
$\begin{cases}40k + b = 600 \\80k + b = 200\end{cases}$
解得$k=-10$，$b=1000$，所以$y=-10x + 1000$。
$W=(x - 40)y=(x - 40)(-10x + 1000)=-10x^2 + 1400x - 40000$，对称轴为$x=-\frac{1400}{2×(-10)}=70$，$a=-10\lt0$，当$x=70$时，$W_{max}=-10×70^2 + 1400×70 - 40000=9000$。
(2)方案A：$40\lt x\leq60$，$W=-10x^2 + 1400x - 40000$在$(40,60]$递增，$x=60$时，$W_A=-10×60^2 + 1400×60 - 40000=8000$。
方案B：$\begin{cases}y\geq220 \\ x - 40\geq35\end{cases}$，即$\begin{cases}-10x + 1000\geq220 \\ x\geq75\end{cases}$，解得$75\leq x\leq78$。$W=-10x^2 + 1400x - 40000$在$[75,78]$递减，$x=75$时，$W_B=-10×75^2 + 1400×75 - 40000=8750$。
因为$8750\gt8000$，所以方案B最大利润更高。
(1)函数解析式为$y=-10x + 1000$，销售单价70元时，最大利润9000元；
(2)方案B最大利润更高。