《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

25. (14分)如图①,一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起,$M$,$N分别是斜边DE$,$AB$的中点,$DE= 2$,$AB= 4$.
(1) 将$\triangle CDE绕顶点C$旋转一周,请直接写出点$M$,$N$之间距离的最大值和最小值;
(2) 如图②,将$\triangle CDE绕顶点C逆时针旋转120^{\circ}$,连接$MN$,求$MN$的长.

答案：
(1) 最大值为3，最小值为1。
(2) 解：连接CM，CN。
∵△CDE和△CAB是等腰直角三角形，M，N分别是斜边DE，AB的中点，
∴CM=1/2DE=1，CN=1/2AB=2，∠DCM=∠NCA=45°。
∵△CDE绕点C逆时针旋转120°，
∴∠DCE=∠ACB=90°，∠DCA=120°，
∴∠MCN=∠DCA - ∠DCM - ∠NCA=120° - 45° - 45°=30°。
在△MCN中，由余弦定理得：
MN²=CM² + CN² - 2·CM·CN·cos∠MCN=1² + 2² - 2×1×2×cos30°=1 + 4 - 2×1×2×(√3/2)=5 - 2√3，
∴MN=√(5 - 2√3)。