《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

26. (14分)在平面直角坐标系中,已知抛物线$y= x^{2}-2mx+m^{2}-m+9$($m$为常数).
(1) $A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$是抛物线上不重合的两点,当$x_{1}+x_{2}= 2$时,$y_{1}= y_{2}$,求该抛物线对应的函数解析式.
(2) $M(x_{0},y_{0})$是抛物线上一点,且$x_{0}+n= y_{0}$.
① 若$m= 1$,当$-1\leqslant x_{0}\leqslant 1$时,求$n$的最小值;
② 当$2m-1\leqslant x_{0}\leqslant \frac{1}{2}m+3$时,$n$的最小值是5,求$m$的值.

答案：
(1) 解：$y=x^2-2mx+m^2-m+9=(x-m)^2-m+9$，抛物线对称轴为直线$x=m$。
∵$A$，$B$不重合且$y_1=y_2$，
∴点$A$，$B$关于对称轴对称，
$\frac{x_1+x_2}{2}=m$，又$x_1+x_2=2$，
∴$m=1$，
抛物线解析式为$y=x^2-2x+9$。
(2) ① 解：当$m=1$时，$y=x^2-2x+9$，
∵$x_0+n=y_0$，
∴$n=y_0-x_0=x_0^2-3x_0+9$，
对称轴为$x=\frac{3}{2}$，在$-1\leqslant x_0\leqslant1$时，$n$随$x_0$增大而减小，
当$x_0=1$时，$n_{\text{min}}=1-3+9=7$。
② 解：$n=y_0-x_0=x_0^2-(2m+1)x_0+m^2-m+9$，对称轴为$x=m+\frac{1}{2}$。
情况1：当$m+\frac{1}{2}\leqslant2m-1$，即$m\geqslant\frac{3}{2}$时，
在$2m-1\leqslant x_0\leqslant\frac{1}{2}m+3$上，$n$随$x_0$增大而增大，
$x_0=2m-1$时，$n=5$，
$(2m-1)^2-(2m+1)(2m-1)+m^2-m+9=5$，
化简得$m^2-5m+8=0$，$\Delta=-7＜0$，无解。
情况2：当$m+\frac{1}{2}\geqslant\frac{1}{2}m+3$，即$m\geqslant5$时，
在$2m-1\leqslant x_0\leqslant\frac{1}{2}m+3$上，$n$随$x_0$增大而减小，
$x_0=\frac{1}{2}m+3$时，$n=5$，
$(\frac{1}{2}m+3)^2-(2m+1)(\frac{1}{2}m+3)+m^2-m+9=5$，
化简得$\frac{1}{4}m^2-4m+11=0$，$\Delta=-5＜0$，无解。
情况3：当$2m-1＜m+\frac{1}{2}＜\frac{1}{2}m+3$，即$m＜5$时，
$x_0=m+\frac{1}{2}$时，$n=5$，
$(m+\frac{1}{2})^2-(2m+1)(m+\frac{1}{2})+m^2-m+9=5$，
化简得$-2m+\frac{33}{4}=5$，解得$m=\frac{13}{8}$。
综上，$m=\frac{13}{8}$。
答案：
(1)$y=x^2-2x+9$；
(2)①$7$；②$\frac{13}{8}$。