《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

24. (12分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,以AB为直径的$\odot O$分别与BC,AC交于点D,E,过点D作$\odot O$的切线DF,与AC交于点F.
(1) 求证:$DF⊥AC$;
(2) 若$\odot O$的半径为4,$∠CDF= 22.5^{\circ }$,求涂色部分的面积.

答案：
(1)证明：连接OD，AD。
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB=90°。
∵AB=AC，
∴BD=CD。
∵OA=OB，
∴OD//AC。
∵DF是⊙O切线，
∴OD⊥DF。
∵OD//AC，
∴DF⊥AC。
(2)解：
∵∠CDF=22.5°，DF⊥AC，
∴∠C=90°-22.5°=67.5°。
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=67.5°，
∴∠BAC=180°-2×67.5°=45°。
⊙O半径为4，
∴OA=OE=4。
连接OE，∠AOE=2∠BAC=90°（同弧所对圆心角是圆周角2倍）。
涂色部分面积=S扇形AOE - S△AOE
= $\frac{90°}{360°}×π×4² - \frac{1}{2}×4×4$
=4π - 8。
答：涂色部分面积为4π - 8。