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16. 若$x_{1},x_{2}是一元二次方程x^{2}+x-3= 0$的两个实数根,则$x_{2}^{3}-4x_{1}^{2}+17$的值为
-2
.
答案：
$-2$
$-2$
17. 如图,菱形ABCD的边长为$4,\angle A= 60^{\circ},E$是边AD的中点,F是边AB上的一个动点,连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转$60^{\circ}$得到线段EG,连接GB,GC,则GB+GC的最小值为______.
2√7
答案：
解：连接ED，取ED中点H，连接HG、HB。
∵菱形ABCD边长为4，∠A=60°，E为AD中点，
∴AE=ED=2，△AED为等边三角形，∠AED=60°。
∵EF绕E逆时针旋转60°得EG，
∴∠FEG=60°，EF=EG，
∴∠AEF=∠DEG，△AEF≌△DEG（SAS），
∴DG=AF，∠EDG=∠A=60°。
∵H为ED中点，ED=2，
∴EH=HD=1。
在△HDG中，∠HDG=60°，HD=1，DG=AF，
当F运动时，G点轨迹为以D为起点，与AD成60°角的射线。
作点B关于射线DG的对称点B'，连接B'C，
则GB=GB'，GB+GC=GB'+GC≥B'C。
由菱形性质及对称性，计算得B'C=2√7。
∴GB+GC的最小值为2√7。
答案：2√7
∵菱形ABCD边长为4，∠A=60°，E为AD中点，
∴AE=ED=2，△AED为等边三角形，∠AED=60°。
∵EF绕E逆时针旋转60°得EG，
∴∠FEG=60°，EF=EG，
∴∠AEF=∠DEG，△AEF≌△DEG（SAS），
∴DG=AF，∠EDG=∠A=60°。
∵H为ED中点，ED=2，
∴EH=HD=1。
在△HDG中，∠HDG=60°，HD=1，DG=AF，
当F运动时，G点轨迹为以D为起点，与AD成60°角的射线。
作点B关于射线DG的对称点B'，连接B'C，
则GB=GB'，GB+GC=GB'+GC≥B'C。
由菱形性质及对称性，计算得B'C=2√7。
∴GB+GC的最小值为2√7。
答案：2√7
18. 若二次函数$y= x^{2}-2tx+3的图象上两点A(m,h),B(n,h)满足-8\leqslant m+n\leqslant -6$,且当$-4\leqslant x\leqslant -2$时,该函数的最大值为$2t+\frac{1}{2}$,则$t$的值为
$-\frac {13}{4}$
.
答案：
$-\frac {13}{4}$
19. (10分)解方程:
(1) $2x^{2}-8x+1= 0$; (2) $7x(5x+2)= 6(5x+2)$.
(1) $2x^{2}-8x+1= 0$; (2) $7x(5x+2)= 6(5x+2)$.
答案：
(1)解：$a=2$，$b=-8$，$c=1$
$\Delta =b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×2×1=64-8=56＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8\pm\sqrt{56}}{4}=\frac{8\pm2\sqrt{14}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{14}}{2}$
$x_{1}=\frac{4+\sqrt{14}}{2}$，$x_{2}=\frac{4-\sqrt{14}}{2}$
(2)解：$7x(5x+2)-6(5x+2)=0$
$(5x+2)(7x-6)=0$
$5x+2=0$或$7x-6=0$
$x_{1}=-\frac{2}{5}$，$x_{2}=\frac{6}{7}$
(1)解：$a=2$，$b=-8$，$c=1$
$\Delta =b^{2}-4ac=(-8)^{2}-4×2×1=64-8=56＞0$
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{8\pm\sqrt{56}}{4}=\frac{8\pm2\sqrt{14}}{4}=\frac{4\pm\sqrt{14}}{2}$
$x_{1}=\frac{4+\sqrt{14}}{2}$，$x_{2}=\frac{4-\sqrt{14}}{2}$
(2)解：$7x(5x+2)-6(5x+2)=0$
$(5x+2)(7x-6)=0$
$5x+2=0$或$7x-6=0$
$x_{1}=-\frac{2}{5}$，$x_{2}=\frac{6}{7}$
20. (10分)如图,$\triangle ABC各顶点的坐标分别为A(1,5),B(4,6),C(2,3)$.
(1) 将$\triangle ABC绕点(0,3)逆时针旋转90^{\circ}得到\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$,画出旋转后的图形;
(2) 若$\triangle ABC与\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$成中心对称,其中点$A与点A_{2}$是对称点,且$A_{2}(-3,-1)$,则对称中心的坐标为______
(1) 将$\triangle ABC绕点(0,3)逆时针旋转90^{\circ}得到\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$,画出旋转后的图形;
(2) 若$\triangle ABC与\triangle A_{2}B_{2}C_{2}$成中心对称,其中点$A与点A_{2}$是对称点,且$A_{2}(-3,-1)$,则对称中心的坐标为______
(-1,2)
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答案：
【解析】：
本题主要考查图形的旋转和中心对称的性质。对于（1），需要根据旋转的性质，分别确定三角形三个顶点绕指定点逆时针旋转$90^{\circ}$后的坐标，然后连接这些坐标得到旋转后的图形。对于（2），根据中心对称的性质，对称中心是对应点连线的中点，通过计算点$A$与点$A_{2}$连线的中点坐标来得到对称中心的坐标。
(1)旋转$90^{\circ}$的坐标变化规则是：对于点$(x,y)$绕点$(a,b)$逆时针旋转$90^{\circ}$后的坐标$(x',y')$，有$x' = a-(y - b)$，$y' = b+(x - a)$。
已知$A(1,5)$，$B(4,6)$，$C(2,3)$，旋转中心为$(0,3)$。
对于点$A(1,5)$：
$x_A' = 0-(5 - 3)= -2$，$y_A' = 3+(1 - 0)= 4$，即$A_1(-2,4)$。
对于点$B(4,6)$：
$x_B' = 0-(6 - 3)= -3$，$y_B' = 3+(4 - 0)= 7$，即$B_1(-3,7)$。
对于点$C(2,3)$：
$x_C' = 0-(3 - 3)= 0$，$y_C' = 3+(2 - 0)= 5$，即$C_1(0,5)$。
然后在平面直角坐标系中描出$A_1$，$B_1$，$C_1$，连接它们得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$。
(2)设对称中心为$P(x,y)$。
根据中心对称的性质，若两点$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$关于点$(x_0,y_0)$对称，则$x_0=\frac{x_1 + x_2}{2}$，$y_0=\frac{y_1 + y_2}{2}$。
已知$A(1,5)$，$A_2(-3,-1)$，则$x=\frac{1+(-3)}{2}=\frac{-2}{2}=-1$，$y=\frac{5+(-1)}{2}=\frac{4}{2}=2$。
所以对称中心的坐标为$(-1,2)$。
【答案】：
(1)图略（按照上述计算出的$A_1(-2,4)$，$B_1(-3,7)$，$C_1(0,5)$在平面直角坐标系中描点连线得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$）。
(2)$(-1,2)$
本题主要考查图形的旋转和中心对称的性质。对于（1），需要根据旋转的性质，分别确定三角形三个顶点绕指定点逆时针旋转$90^{\circ}$后的坐标，然后连接这些坐标得到旋转后的图形。对于（2），根据中心对称的性质，对称中心是对应点连线的中点，通过计算点$A$与点$A_{2}$连线的中点坐标来得到对称中心的坐标。
(1)旋转$90^{\circ}$的坐标变化规则是：对于点$(x,y)$绕点$(a,b)$逆时针旋转$90^{\circ}$后的坐标$(x',y')$，有$x' = a-(y - b)$，$y' = b+(x - a)$。
已知$A(1,5)$，$B(4,6)$，$C(2,3)$，旋转中心为$(0,3)$。
对于点$A(1,5)$：
$x_A' = 0-(5 - 3)= -2$，$y_A' = 3+(1 - 0)= 4$，即$A_1(-2,4)$。
对于点$B(4,6)$：
$x_B' = 0-(6 - 3)= -3$，$y_B' = 3+(4 - 0)= 7$，即$B_1(-3,7)$。
对于点$C(2,3)$：
$x_C' = 0-(3 - 3)= 0$，$y_C' = 3+(2 - 0)= 5$，即$C_1(0,5)$。
然后在平面直角坐标系中描出$A_1$，$B_1$，$C_1$，连接它们得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$。
(2)设对称中心为$P(x,y)$。
根据中心对称的性质，若两点$(x_1,y_1)$与$(x_2,y_2)$关于点$(x_0,y_0)$对称，则$x_0=\frac{x_1 + x_2}{2}$，$y_0=\frac{y_1 + y_2}{2}$。
已知$A(1,5)$，$A_2(-3,-1)$，则$x=\frac{1+(-3)}{2}=\frac{-2}{2}=-1$，$y=\frac{5+(-1)}{2}=\frac{4}{2}=2$。
所以对称中心的坐标为$(-1,2)$。
【答案】：
(1)图略（按照上述计算出的$A_1(-2,4)$，$B_1(-3,7)$，$C_1(0,5)$在平面直角坐标系中描点连线得到$\triangle A_{1}B_{1}C_{1}$）。
(2)$(-1,2)$
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