《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

23. (12分)如图,AB是$\odot O$的直径,AN,AC是$\odot O$的弦,P为AB的延长线上一点,AN,PC的延长线相交于点M,且$AM⊥PM,∠PCB= ∠PAC$.
(1) 试判断直线PC与$\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2) 若$AB= 10,∠P= 30^{\circ }$,求MN的长.

答案： 【解析】：
(1)我们可以按照以下步骤来判断直线PC与$\odot O$的位置关系：
第一步，连接OC。
第二步，根据等腰三角形的性质，在等腰三角形中，两底角相等。由于$OA = OC$（均为半径），所以$\angle OAC = \angle OCA$。
第三步，由题意知$\angle PCB = \angle PAC$，所以$\angle OCA = \angle PCB$。
第四步，根据平行线的性质，当两直线被第三条直线所截，且同位角相等时，这两直线平行。由于$\angle OCA = \angle PCB$且$\angle OCA$和$\angle ACM$为同位角，所以$OC // AM$。
第五步，由于$AM \perp PM$，根据平行线的性质，当一条直线垂直于平行线中的一条时，它也垂直于另一条。所以$OC \perp PM$。
第六步，根据直线与圆的位置关系，当直线与圆有且仅有一个交点，且从该交点出发的半径与该直线垂直时，该直线为圆的切线。由于$OC \perp PM$且$OC$为半径，所以$PC$为$\odot O$的切线。
(2)要求MN的长，我们可以按照以下步骤逐步推导：
第一步，连接CN。由于$AB$是直径，根据直径所对的圆周角为直角，所以$\angle ACB = 90^\circ$。
第二步，由于$OC = OA = 5$（半径），且$\angle P = 30^\circ$，根据直角三角形中的三边关系及三角函数，我们可以得到$OP = 2OC = 10$，从而$PB = OP - OB = 10 - 5 = 5$。
第三步，由于$OC \perp PM$且$AM \perp PM$，所以$OC // AM$。又因为$OA = OB$，所以根据平行线分线段成比例定理，$N$为$AC$的中点，即$AN = NC$，且$MN$为直角三角形$ACM$斜边上的中线，所以$MN = \frac{1}{2}AC = NC$。
第四步，由于$\angle OCP = 90^\circ$且$\angle P = 30^\circ$，再次利用直角三角形中的三边关系及三角函数，我们可以得到$PC = \sqrt{3}OC = 5\sqrt{3}$。
第五步，在直角三角形$MPC$中，利用三角函数，我们有$\tan 30^\circ = \frac{MC}{PC}$，从而$MC = PC × \tan 30^\circ = 5\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{3} = 5$。
第六步，由于$MN$是$AC$的中线，所以$MN = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}(AM - MC)$。由于$AM$是直角三角形$ACM$的斜边，且$AC$和$MC$已知，我们可以利用勾股定理求出$AM$，但此处我们可以直接利用直角三角形斜边上的中线性质，得到$MN = MC × \frac{\sqrt{3}}{3}× \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} × \frac{2\sqrt{3}}{3} × \frac{1}{2} × 2 = \frac{5\sqrt{3}}{3}$（利用30度所对直角边为斜边一半以及勾股定理预先得出$AM=2MN=\frac{10\sqrt{3}}{3}$，再求$MN$）。
【答案】：
(1)直线$PC$与$\odot O$相切。
(2)$MN$的长为$\frac{5\sqrt{3}}{3}$。