《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

23. (10分)已知关于$x的一元二次方程(a+b)x^{2}-2cx+(a-b)= 0$,其中$a,b,c分别为\triangle ABC$的三边长.
(1) 若1是方程的一个根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;
(2) 若$\triangle ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

答案：
(1) 解：$\triangle ABC$是等腰三角形。
理由：
∵1是方程的一个根，
∴$(a+b)×1^{2}-2c×1+(a-b)=0$，
即$a+b-2c+a-b=0$，
$2a-2c=0$，
$a=c$，
∵$a,b,c$为$\triangle ABC$的三边长，
∴$\triangle ABC$是等腰三角形。
(2) 解：
∵$\triangle ABC$是等边三角形，
∴$a=b=c$，
原方程可化为$(a+a)x^{2}-2ax+(a-a)=0$，
即$2ax^{2}-2ax=0$，
$2ax(x-1)=0$，
∵$a\neq0$，
∴$x=0$或$x-1=0$，
解得$x_{1}=0$，$x_{2}=1$。