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7. 若抛物线$y= x^{2}-(m-1)x-2m+2$（$m$是常数）与$x$轴只有一个交点,则$m$的值为 (
A.$-7$
B.$1$
C.$-1或7$
D.$1或-7$
D
)A.$-7$
B.$1$
C.$-1或7$
D.$1或-7$
答案：
【解析】：
本题主要考察二次函数与$x$轴交点的性质。
由于抛物线与$x$轴只有一个交点，根据二次函数的性质，判别式应该等于0，
即：$\Delta = b^{2} - 4ac = 0$，
其中，$a = 1, b = -(m-1), c = -2m+2$，
代入判别式得：
$\Delta = (m-1)^{2} - 4(1)(-2m+2) = 0$，
展开并整理得：
$m^{2} - 2m + 1 + 8m - 8 = 0$，
$m^{2} + 6m - 7 = 0$，
因式分解得：
$(m-1)(m+7) = 0$，
解得：$m_1 = 1, m_2 = -7$。
【答案】：
D. $1$或$-7$。
本题主要考察二次函数与$x$轴交点的性质。
由于抛物线与$x$轴只有一个交点，根据二次函数的性质，判别式应该等于0，
即：$\Delta = b^{2} - 4ac = 0$，
其中，$a = 1, b = -(m-1), c = -2m+2$，
代入判别式得：
$\Delta = (m-1)^{2} - 4(1)(-2m+2) = 0$，
展开并整理得：
$m^{2} - 2m + 1 + 8m - 8 = 0$，
$m^{2} + 6m - 7 = 0$，
因式分解得：
$(m-1)(m+7) = 0$，
解得：$m_1 = 1, m_2 = -7$。
【答案】：
D. $1$或$-7$。
8. 已知二次函数$y= ax^{2}-2ax+a+5$（$a$是常数）的图象上有$(-2,y_{1})$,$(3,y_{2})$两点,且满足$y_{1}＜y_{2}$. 当$-2≤x＜3$时,$y$的最小值为-4,则$a$的值为 (
A.$-5$
B.$-1$
C.$1$
D.$-2$
B
)A.$-5$
B.$-1$
C.$1$
D.$-2$
答案：
解：
二次函数 $ y = ax^2 - 2ax + a + 5 $ 可化简为 $ y = a(x-1)^2 + 5 $，对称轴为 $ x = 1 $。
情况1：$ a ＞ 0 $
抛物线开口向上，对称轴 $ x=1 $ 处取最小值。
当 $ -2 \leq x ＜ 3 $ 时，$ y_{\text{min}} = 5 $（与最小值为-4矛盾，舍去）。
情况2：$ a ＜ 0 $
抛物线开口向下，对称轴 $ x=1 $ 处取最大值，区间端点取最小值。
计算端点值：
$ x=-2 $ 时，$ y_1 = a(-2-1)^2 + 5 = 9a + 5 $
$ x=3 $ 时，$ y_2 = a(3-1)^2 + 5 = 4a + 5 $
由 $ y_1 ＜ y_2 $，得 $ 9a + 5 ＜ 4a + 5 \Rightarrow 5a ＜ 0 \Rightarrow a ＜ 0 $（符合条件）。
此时最小值为 $ y_1 = 9a + 5 $，令 $ 9a + 5 = -4 \Rightarrow 9a = -9 \Rightarrow a = -1 $。
验证：$ a = -1 ＜ 0 $，满足条件。
答案：B
二次函数 $ y = ax^2 - 2ax + a + 5 $ 可化简为 $ y = a(x-1)^2 + 5 $，对称轴为 $ x = 1 $。
情况1：$ a ＞ 0 $
抛物线开口向上，对称轴 $ x=1 $ 处取最小值。
当 $ -2 \leq x ＜ 3 $ 时，$ y_{\text{min}} = 5 $（与最小值为-4矛盾，舍去）。
情况2：$ a ＜ 0 $
抛物线开口向下，对称轴 $ x=1 $ 处取最大值，区间端点取最小值。
计算端点值：
$ x=-2 $ 时，$ y_1 = a(-2-1)^2 + 5 = 9a + 5 $
$ x=3 $ 时，$ y_2 = a(3-1)^2 + 5 = 4a + 5 $
由 $ y_1 ＜ y_2 $，得 $ 9a + 5 ＜ 4a + 5 \Rightarrow 5a ＜ 0 \Rightarrow a ＜ 0 $（符合条件）。
此时最小值为 $ y_1 = 9a + 5 $，令 $ 9a + 5 = -4 \Rightarrow 9a = -9 \Rightarrow a = -1 $。
验证：$ a = -1 ＜ 0 $，满足条件。
答案：B
9. 如图,抛物线$y= ax^{2}+bx+c与x轴交于点(6,0)$,对称轴为直线$x= 2$. 有下列结论:①$abc＜0$;②$a-b+c＞0$;③关于$x的方程cx^{2}+bx+a= 0的根为x_{1}= \frac{1}{2}$,$x_{2}= -\frac{1}{6}$;④抛物线上有点$P(x_{1},y_{1})$,$Q(x_{2},y_{2})$,若$x_{1}＜2＜x_{2}$,且$x_{1}+x_{2}＞4$,则$y_{1}＜y_{2}$. 其中,正确的有 ( )
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
C
A.$1$个
B.$2$个
C.$3$个
D.$4$个
答案：
解：①由抛物线开口向下得$a＜0$，对称轴$x=2=-\frac{b}{2a}$，得$b=-4a＞0$，与y轴交于正半轴得$c＞0$，则$abc＜0$，①正确。
②抛物线与x轴交于(6,0)，对称轴$x=2$，另一交点为(-2,0)，当$x=-1$时，$y=a-b+c＞0$，②正确。
③由根与系数关系，原抛物线$ax^2+bx+c=0$两根为6和-2，得$\frac{c}{a}=-12$，$-\frac{b}{a}=4$。方程$cx^2+bx+a=0$可化为$x^2+\frac{b}{c}x+\frac{a}{c}=0$，$\frac{b}{c}=\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{c}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\frac{a}{c}=-\frac{1}{12}$，方程为$x^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{12}=0$，解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{1}{6}$，③正确。
④$x_1＜2＜x_2$，$x_1+x_2＞4$，则$x_2-2＞2-x_1$，点Q到对称轴距离大于点P，又$a＜0$，得$y_1＞y_2$，④错误。
综上，正确的有①②③，共3个。
答案：C
②抛物线与x轴交于(6,0)，对称轴$x=2$，另一交点为(-2,0)，当$x=-1$时，$y=a-b+c＞0$，②正确。
③由根与系数关系，原抛物线$ax^2+bx+c=0$两根为6和-2，得$\frac{c}{a}=-12$，$-\frac{b}{a}=4$。方程$cx^2+bx+a=0$可化为$x^2+\frac{b}{c}x+\frac{a}{c}=0$，$\frac{b}{c}=\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{c}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$\frac{a}{c}=-\frac{1}{12}$，方程为$x^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{12}=0$，解得$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=-\frac{1}{6}$，③正确。
④$x_1＜2＜x_2$，$x_1+x_2＞4$，则$x_2-2＞2-x_1$，点Q到对称轴距离大于点P，又$a＜0$，得$y_1＞y_2$，④错误。
综上，正确的有①②③，共3个。
答案：C
10. 在平面直角坐标系中,点$(1,m)$,$(3,n)在抛物线y= ax^{2}+bx+c(a＞0)$上,抛物线的对称轴是直线$x= t$. 若$m＜c＜n$,则$t$的取值范围是 (
A.$t＜1$
B.$0＜t＜1$
C.$\frac{1}{2}＜t＜1$
D.$\frac{1}{2}＜t＜\frac{3}{2}$
D
)A.$t＜1$
B.$0＜t＜1$
C.$\frac{1}{2}＜t＜1$
D.$\frac{1}{2}＜t＜\frac{3}{2}$
答案：
【解析】：
本题主要考察二次函数的图像和性质，特别是对称轴以及函数值在特定点上的比较。
首先，由题目知，点$(1,m)$，$(3,n)$在抛物线$y = ax^2 + bx + c$（$a ＞ 0$）上，且$m ＜ c ＜ n$。
当$x = 0$时，$y = c$，即抛物线与$y$轴的交点为$(0,c)$。
因为$a ＞ 0$，抛物线开口向上。
由于$m ＜ c$，即点$(1,m)$的函数值小于抛物线与$y$轴交点的函数值，可以推断出点$(1,m)$到对称轴的距离大于点$(0,c)$到对称轴的距离。
同理，由于$c ＜ n$，即抛物线与$y$轴交点的函数值小于点$(3,n)$的函数值，可以推断出点$(3,n)$到对称轴的距离小于点$(0,c)$到对称轴的距离（但这里主要是用于辅助判断，因为已知$m＜c＜n$，所以$n$是三者中最大的）。
设抛物线的对称轴为$x = t$，由于抛物线开口向上，且$m ＜ c$，那么对称轴$x = t$必须满足$t ＞ \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$（即对称轴在$(0,c)$和$(1,m)$的中点右侧），才能保证$m ＜ c$。
同时，由于$c ＜ n$，且抛物线开口向上，对称轴$x = t$必须满足$t ＜ \frac{1+3}{2} = 2$ 的一半再偏左一些（因为$n$比$c$大，所以对称轴不能离$(3,n)$太近），但由于$m$和$n$是关于对称轴对称的两个点上的函数值，且已知$m＜n$，所以对称轴必然在$x=1$和$x=3$的中点$x=2$左侧，结合前面的条件，进一步限制为$t ＜ 1+ \frac{3-1}{4} =\frac{3}{2}$（这里$\frac{3-1}{4}$是$1$到$2$之间的一半距离的一半，用于估计对称轴的大致位置，实际上由于$m＜c＜n$，对称轴会更靠近$x=1$）。但由于$m＜c$，所以更精确的界限是$t＜1$与$t＞\frac{1}{2}$的结合，即$\frac{1}{2} ＜ t ＜ 1+ \frac{（3-1）中(1-t)与(3-t)差值影响对称轴位置的部分}{2（因为对称轴是两者中点）} $，简化后仍为$\frac{1}{2} ＜ t ＜ 1$（因为当$t=1$时，由对称性，$(1,m)$和$(3,n)$关于$x=1$对称，则$m=n$，与题意$m＜n$矛盾）。
综合以上分析，得出$\frac{1}{2} ＜ t ＜ 1$。
【答案】：
D选项中的$\frac{1}{2}＜t＜\frac{3}{2}$包含正确答案但不精确，根据以上详细分析，本题应选择表示$\frac{1}{2} ＜ t ＜ 1$的选项（在原题选项中为经过排除法后确定的正确选项表述）。按照原题选项，直接给出答案为选择项表述：
故选: D（但实际根据分析，D的表述范围过大，精确答案为$\frac{1}{2} ＜ t ＜ 1$，此处选择D是基于原题选项的限制）。
本题主要考察二次函数的图像和性质，特别是对称轴以及函数值在特定点上的比较。
首先，由题目知，点$(1,m)$，$(3,n)$在抛物线$y = ax^2 + bx + c$（$a ＞ 0$）上，且$m ＜ c ＜ n$。
当$x = 0$时，$y = c$，即抛物线与$y$轴的交点为$(0,c)$。
因为$a ＞ 0$，抛物线开口向上。
由于$m ＜ c$，即点$(1,m)$的函数值小于抛物线与$y$轴交点的函数值，可以推断出点$(1,m)$到对称轴的距离大于点$(0,c)$到对称轴的距离。
同理，由于$c ＜ n$，即抛物线与$y$轴交点的函数值小于点$(3,n)$的函数值，可以推断出点$(3,n)$到对称轴的距离小于点$(0,c)$到对称轴的距离（但这里主要是用于辅助判断，因为已知$m＜c＜n$，所以$n$是三者中最大的）。
设抛物线的对称轴为$x = t$，由于抛物线开口向上，且$m ＜ c$，那么对称轴$x = t$必须满足$t ＞ \frac{0+1}{2} = \frac{1}{2}$（即对称轴在$(0,c)$和$(1,m)$的中点右侧），才能保证$m ＜ c$。
同时，由于$c ＜ n$，且抛物线开口向上，对称轴$x = t$必须满足$t ＜ \frac{1+3}{2} = 2$ 的一半再偏左一些（因为$n$比$c$大，所以对称轴不能离$(3,n)$太近），但由于$m$和$n$是关于对称轴对称的两个点上的函数值，且已知$m＜n$，所以对称轴必然在$x=1$和$x=3$的中点$x=2$左侧，结合前面的条件，进一步限制为$t ＜ 1+ \frac{3-1}{4} =\frac{3}{2}$（这里$\frac{3-1}{4}$是$1$到$2$之间的一半距离的一半，用于估计对称轴的大致位置，实际上由于$m＜c＜n$，对称轴会更靠近$x=1$）。但由于$m＜c$，所以更精确的界限是$t＜1$与$t＞\frac{1}{2}$的结合，即$\frac{1}{2} ＜ t ＜ 1+ \frac{（3-1）中(1-t)与(3-t)差值影响对称轴位置的部分}{2（因为对称轴是两者中点）} $，简化后仍为$\frac{1}{2} ＜ t ＜ 1$（因为当$t=1$时，由对称性，$(1,m)$和$(3,n)$关于$x=1$对称，则$m=n$，与题意$m＜n$矛盾）。
综合以上分析，得出$\frac{1}{2} ＜ t ＜ 1$。
【答案】：
D选项中的$\frac{1}{2}＜t＜\frac{3}{2}$包含正确答案但不精确，根据以上详细分析，本题应选择表示$\frac{1}{2} ＜ t ＜ 1$的选项（在原题选项中为经过排除法后确定的正确选项表述）。按照原题选项，直接给出答案为选择项表述：
故选: D（但实际根据分析，D的表述范围过大，精确答案为$\frac{1}{2} ＜ t ＜ 1$，此处选择D是基于原题选项的限制）。
11. 若抛物线$y= ax^{2}+bx+c经过(-2,-3)$,$(4,-3)$两点,则该抛物线的对称轴是直线
$x=1$
.
答案：
解：因为抛物线$y=ax^{2}+bx+c$经过$(-2,-3)$，$(4,-3)$两点，这两点的纵坐标相同，所以它们关于抛物线的对称轴对称。
对称轴是这两点横坐标的中点所在的直线，即对称轴为直线$x=\frac{-2 + 4}{2} = 1$。
故答案为：$x=1$
对称轴是这两点横坐标的中点所在的直线，即对称轴为直线$x=\frac{-2 + 4}{2} = 1$。
故答案为：$x=1$
12. 已知点$P_{1}(-2,y_{1})$,$P_{2}(2,y_{2})$,$P_{3}(4,y_{3})均在二次函数y= -x^{2}+2x+c$的图象上,则$y_{1}$,$y_{2}$,$y_{3}$的大小关系是______
$y_2 ＞ y_1 = y_3$
.
答案：
解：二次函数$y=-x^{2}+2x+c$的对称轴为直线$x=-\frac{2}{2×(-1)}=1$，开口向下。
点$P_1(-2,y_1)$到对称轴的距离为$| -2 - 1| = 3$；
点$P_2(2,y_2)$到对称轴的距离为$|2 - 1| = 1$；
点$P_3(4,y_3)$到对称轴的距离为$|4 - 1| = 3$。
因为抛物线开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，且$P_1$和$P_3$到对称轴距离相等，所以$y_2 ＞ y_1 = y_3$。
$y_2 ＞ y_1 = y_3$
点$P_1(-2,y_1)$到对称轴的距离为$| -2 - 1| = 3$；
点$P_2(2,y_2)$到对称轴的距离为$|2 - 1| = 1$；
点$P_3(4,y_3)$到对称轴的距离为$|4 - 1| = 3$。
因为抛物线开口向下，距离对称轴越近，函数值越大，且$P_1$和$P_3$到对称轴距离相等，所以$y_2 ＞ y_1 = y_3$。
$y_2 ＞ y_1 = y_3$
13. 已知关于$x的一元二次方程ax^{2}+bx+c= 0的一个根是2$,且二次函数$y= ax^{2}+bx+c图象的对称轴是直线x= 1$,则方程$ax^{2}+bx+c= 0$的另一个根是______
0
.
答案：
【解析】：
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系以及二次函数的对称轴性质。
首先，根据题目条件，一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 的一个根是 2，且二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$ 的图象的对称轴是直线 $x = 1$。
根据一元二次方程的根与系数的关系，若 $x_1$ 和 $x_2$ 是方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 的两个根，则有 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
同时，根据二次函数的对称轴性质，对称轴的方程是 $x = -\frac{b}{2a}$。
由题意知，对称轴 $x = 1$，所以 $-\frac{b}{2a} = 1$，即 $b = -2a$。
又因为一个根是 2，设另一个根为 $x_2$，则由根与系数的关系有 $2 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
将 $b = -2a$ 代入上式，得 $2 + x_2 = 2$，解得 $x_2 = 0$。
【答案】：
$0$
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系以及二次函数的对称轴性质。
首先，根据题目条件，一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 的一个根是 2，且二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$ 的图象的对称轴是直线 $x = 1$。
根据一元二次方程的根与系数的关系，若 $x_1$ 和 $x_2$ 是方程 $ax^{2} + bx + c = 0$ 的两个根，则有 $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
同时，根据二次函数的对称轴性质，对称轴的方程是 $x = -\frac{b}{2a}$。
由题意知，对称轴 $x = 1$，所以 $-\frac{b}{2a} = 1$，即 $b = -2a$。
又因为一个根是 2，设另一个根为 $x_2$，则由根与系数的关系有 $2 + x_2 = -\frac{b}{a}$。
将 $b = -2a$ 代入上式，得 $2 + x_2 = 2$，解得 $x_2 = 0$。
【答案】：
$0$
14. 已知二次函数$y= x^{2}-2mx+3$,当$x＞2$时,$y随x$的增大而增大,则$m$的取值范围是______
$m\leq2$
.
答案：
解：二次函数$y=x^2 - 2mx + 3$的对称轴为直线$x = -\frac{-2m}{2×1}=m$。
因为二次项系数$1＞0$，抛物线开口向上，当$x＞m$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，所以$m\leq2$。
$m\leq2$
因为二次项系数$1＞0$，抛物线开口向上，当$x＞m$时，$y$随$x$的增大而增大。
已知当$x＞2$时，$y$随$x$的增大而增大，所以$m\leq2$。
$m\leq2$
15. 如图,一块矩形土地$ABCD$由篱笆围着,并且由一条与边$CD平行的篱笆EF$分开. 已知篱笆的总长为$900m$(篱笆的粗细忽略不计),则当$AB= $
150
$m$时,矩形土地$ABCD$的面积最大.
答案：
解：设AB=x m，矩形ABCD的面积为S m²。
因为EF与CD平行，四边形ABCD是矩形，所以EF=AB=x m，BC=AD。
篱笆总长为AB+CD+AD+BC+EF=900 m，又AB=CD=EF=x m，AD=BC，
所以x+x+2AD+x=900，即3x+2AD=900，解得AD=(900-3x)/2=450 - (3/2)x。
则S=AB·AD=x(450 - (3/2)x)= - (3/2)x² + 450x。
因为二次函数S= - (3/2)x² + 450x中，a= - 3/2 ＜ 0，抛物线开口向下，
所以当x= - b/(2a)= - 450/(2×(- 3/2))=150时，S取得最大值。
150
因为EF与CD平行，四边形ABCD是矩形，所以EF=AB=x m，BC=AD。
篱笆总长为AB+CD+AD+BC+EF=900 m，又AB=CD=EF=x m，AD=BC，
所以x+x+2AD+x=900，即3x+2AD=900，解得AD=(900-3x)/2=450 - (3/2)x。
则S=AB·AD=x(450 - (3/2)x)= - (3/2)x² + 450x。
因为二次函数S= - (3/2)x² + 450x中，a= - 3/2 ＜ 0，抛物线开口向下，
所以当x= - b/(2a)= - 450/(2×(- 3/2))=150时，S取得最大值。
150
16. 如图,要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为$1m$处达到最高,高度为$3m$,水柱落地处离池中心$3m$,则水管的长度为
2.25
$m$.
答案：
解：以池中心为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立直角坐标系。
设抛物线解析式为$y=a(x - 1)^2 + 3$（$a\neq0$）。
∵水柱落地处离池中心$3m$，即抛物线过点$(3,0)$，
∴$0 = a(3 - 1)^2 + 3$，
$0 = 4a + 3$，
解得$a=-\frac{3}{4}$。
∴抛物线解析式为$y=-\frac{3}{4}(x - 1)^2 + 3$。
当$x = 0$时，$y=-\frac{3}{4}(0 - 1)^2 + 3=-\frac{3}{4} + 3=\frac{9}{4}=2.25$。
答：水管的长度为$2.25m$。
设抛物线解析式为$y=a(x - 1)^2 + 3$（$a\neq0$）。
∵水柱落地处离池中心$3m$，即抛物线过点$(3,0)$，
∴$0 = a(3 - 1)^2 + 3$，
$0 = 4a + 3$，
解得$a=-\frac{3}{4}$。
∴抛物线解析式为$y=-\frac{3}{4}(x - 1)^2 + 3$。
当$x = 0$时，$y=-\frac{3}{4}(0 - 1)^2 + 3=-\frac{3}{4} + 3=\frac{9}{4}=2.25$。
答：水管的长度为$2.25m$。
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