《2025年金钥匙课时学案作业本九年级数学上册人教版》

25. (12分)已知二次函数$y= x^{2}+mx+n的图象经过点A(1,0)$,$D(4,3)$,与$x轴的另一个交点为B$,与$y轴交于点C$.
(1) 求二次函数的解析式及函数图象的顶点坐标.
(2) 将二次函数$y= x^{2}+mx+n的图象在点B$,$C$之间的部分(包含点$B$,$C$)记为图象$G$.已知直线$l:y= kx-2k+2总位于图象G$的上方,请直接写出$k$的取值范围.
(3) 若点$P(x_{1},c)$,$Q(x_{2},c)在二次函数y= x^{2}+mx+n$的图象上,且$x_{1}＜x_{2}$,$PQ= 2a$,求$x_{1}^{2}-ax_{2}+6a+4$的值.

答案：
(1)解：
∵二次函数$y=x^{2}+mx+n$的图象经过点$A(1,0)$，$D(4,3)$，
$\therefore \begin{cases}1+m+n=0\\16+4m+n=3\end{cases}$
解得$\begin{cases}m=-4\\n=3\end{cases}$
$\therefore$二次函数的解析式为$y=x^{2}-4x+3$。
$\because y=x^{2}-4x+3=(x-2)^{2}-1$，
$\therefore$顶点坐标为$(2,-1)$。
(2)$k＜\frac{1}{2}$
(3)解：$\because$点$P(x_{1},c)$，$Q(x_{2},c)$在二次函数$y=x^{2}-4x+3$的图象上，
$\therefore x_{1}$，$x_{2}$是方程$x^{2}-4x+3=c$的两个根，
即$x^{2}-4x+3 - c=0$。
$\therefore x_{1}+x_{2}=4$，$x_{1}x_{2}=3 - c$。
$\because PQ=2a$，$x_{1}＜x_{2}$，
$\therefore x_{2}-x_{1}=2a$。
$\because (x_{2}-x_{1})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}$，
$\therefore (2a)^{2}=4^{2}-4(3 - c)$，
$4a^{2}=16 - 12 + 4c$，
$4a^{2}=4 + 4c$，
$a^{2}=1 + c$，即$c=a^{2}-1$。
$\because x_{1}+x_{2}=4$，
$\therefore x_{1}=4 - x_{2}$。
$\therefore x_{1}^{2}-ax_{2}+6a + 4=(4 - x_{2})^{2}-ax_{2}+6a + 4$
$=16 - 8x_{2}+x_{2}^{2}-ax_{2}+6a + 4$
$=x_{2}^{2}-(8 + a)x_{2}+20 + 6a$。
$\because x_{2}^{2}-4x_{2}+3=c=a^{2}-1$，
$\therefore x_{2}^{2}=4x_{2}+a^{2}-4$。
$\therefore$原式$=4x_{2}+a^{2}-4-(8 + a)x_{2}+20 + 6a$
$=(4 - 8 - a)x_{2}+a^{2}-4 + 20 + 6a$
$=(-4 - a)x_{2}+a^{2}+16 + 6a$。
$\because x_{1}=4 - x_{2}$，$x_{2}-x_{1}=2a$，
$\therefore x_{2}-(4 - x_{2})=2a$，$2x_{2}=4 + 2a$，$x_{2}=2 + a$。
$\therefore$原式$=(-4 - a)(2 + a)+a^{2}+16 + 6a$
$=-8 - 4a - 2a - a^{2}+a^{2}+16 + 6a$
$=8$。