《2025年考前示范卷九年级数学全一册人教版》

24.(8分)第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至8月8日在成都举行,大熊猫是成都最具特色的对外传播标识物,此次成都大运会吉祥物“蓉宝”便是以熊猫基地真实的大熊猫“芝麻”为原型创作的。某商店销售“蓉宝”毛绒玩具,进价为25元。经市场调查发现,销售这种毛绒玩具,每天销售量y(件)是每件售价x(元)(30≤x≤45且x为正整数)的一次函数,其部分对应数据如表所示:

(1)直接写出y与x之间的函数表达式;
(2)求出每天销售的总利润w(元)与x之间的函数表达式;
(3)请你分析,该商店销售这种毛绒玩具,能否实现投入总成本最少且获利最大？

答案： 解:
(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b (k≠0)。
　　把(36,78)和(37,76)两组数据代入y=kx+b (k≠0),，得3367kk++bb==7768。,解得{kb==−1520,。
　　所以y与x之间的函数表达式为y=−2x+150。
(2)根据题意,得w=(x−25)(−2x+150),
　　即每天销售的总利润w(元)与x之间的函数表达式为w=−2x²+200x−3750。
(3)由
(2)知,w=−2x²+200x−3750=−2(x−50)²+1250。
　
∵a=−2＜0,
　
∴总利润w有最大值。
　
∵x的取值范围为30≤x≤45,
　
∴当x=45时，获利最大，最大利润为
　　−2×(45−50)²+1250=1200(元)。
　
∴能实现投入总成本最少且获利最大。

25.(10分)数学中的图形变换既有趣又蕴含着方法，某学习小组的同学们在练习中发现了很有趣的一类题目:
探究活动一:在正方形ABCD中,两条对角线交于点O。
(1)如图1,若E是AD边上一点,将OE绕点O逆时针旋转90°,得到OF,点F恰好落在AB边上。此时,线段AE,AF和AD之间的数量关系是________。
(2)如图2,若E是BA延长线上一点,将OE绕点O逆时针旋转90°,得到OF,点F恰好落在CB延长线上,此时,线段AE,AF和AD之间是否仍满足(1)中的数量关系？如不满足,请写出它们的数量关系,并说明理由;
探究活动二:在矩形ABCD中,两条对角线交于点O,E是BA延长线上一点,将OE绕点O逆时针旋转得到OF,当∠EOF = ∠AOD时,点F恰好落在DA的延长线。
(3)如图3,若∠AOD = 60°,求$\frac{AE}{AF}$的值;
(4)如图4,若∠AOD = α,则$\frac{AE}{AF}$的值是________(用含α的式子表示)。

答案：
解:
(1)
∵四边形ABCD是正方形，两条对角线交于点0,
　
∴AC⊥BD,OD=OB=$\frac{1}{2}$BD,OA=0C=$\frac{1}{2}$C,BD =AC。
　
∴∠D0A=90°,oD=oA。
　　由旋转,得OE=oF,∠EOF=90°。
　
∴∠D0E=∠A0F=90°−∠A0E。
　　在△DOE和△AOF中，
　　　OD=0A,
　　{∠DOE=∠AOF,
　　　OE=OF,
　
∴△DOEB△AOF(SAS)o
　
∴DE=AF。
　
∴AE+AF=AE+DE=AD。
　　故答案为AE+AF=AD。
(2)不满足,此时线段AE,AF与AD之间的数量关系为AE2+AD²=AF²。理由如下:
　　由旋转,得OE=oF,∠EOF=90°。
　
∵OA=0B,∠A0B=90°,
　　.　　A0E=∠BOF=90°−∠AOF。
　　在　△AOE和△BOF中,
OA=OB,
AOE=∠BOF,,
　　　OE=OF,
　　.△AOEB△BOF(SAS)o
　　..:A.E=BF。
　
∵四边形　　D为正方形，
B=ADBC=90°o
在.　ARBtF△=A9B0F°中,BF²+AB²=AF2。
∵BF=AE,AB=AD,
∴AE²+AD²=AF²。
(3)如图1,连接DE,设oE交AD于点L。
∵四边形ABCD是矩形，两条对角线交于点O,
∴∠BAD=90°,0D=0B=$\frac{1}{2}$BD,
OA=0C=$\frac{1}{2}$C,BD=AC。
∴∠DAE=90°,0D=0A。
由旋转,得OE=OF,
∠EOF=∠AoD=60°。u
∴$\frac{OD}{OA}$=$\frac{OE}{OF}$=1,∠DOE=
　　　　　　　　　 ∠A0F=60°−∠A0E。
∴△DOE∽△AOF。
∴$\frac{DE}{AF}$=$\frac{OE}{OF}$=1。
∴DE=AF,∠OED=∠OFA。
∵∠OLD=∠ADE+∠OED,
∠OLD=∠OFA+∠EOF,
∴∠ADE=∠OLD−∠OED=∠OLD−∠OFA=
∠EoF=60°。
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AE}{DE}$=sin∠ADE=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
∴$\frac{AE}{AF}$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
(4)如图2,连接DE,设oE交AD于点K。
由旋转,得OE=OF,
∠EOF=∠AOD=α。
由
(3),知∠DAE=90°,
OD=0A,
　　　　　　　　　　
∴$\frac{OD}{OA}$=$\frac{OE}{OF}$=1,
∠DOE=∠AOF=∠AOD−
∠AOE。
∴△DOE∽△AOF。　　　　　　　　　
∴$\frac{DE}{AF}$=$\frac{OE}{OF}$=1。　　　　　　　　　　　
∴DE=AF,∠OED=∠OFA。
∵∠OKD=∠ADE+∠OED,
∠OKD=∠OFA+∠EOF,　　　　　　　..∠ADE=∠OKD−∠OED=∠OKD−Z　OFA=
∠EOF=α。
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{AE}{DE}$=sin∠ADE=sin
　　　　　　　　　　 故答案为sinα。