《2025年考前示范卷九年级数学全一册人教版》

20.(6分)大约在两千四五百年前,墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验,如图1,并在《墨经》中有这样的精彩记录:“景到,在午有端,与景长,说在端”。如图2,根据小孔成像的科学原理,当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时,火焰的像高y(单位:cm)是物距(小孔到蜡烛的距离)x(单位:cm)的反比例函数,当x = 6时,y = 2。
　(1)求y关于x的函数表达式;
　(2)若小孔到蜡烛的距离为4cm,求火焰的像高;
　(3)若火焰的像高不得超过3cm,求小孔到蜡烛的距离至少是多少厘米?
　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)设y关于x的函数表达式为y = k/x(k≠0)。
∵当x = 6时，y = 2，
∴把x = 6，y = 2代入反比例函数的表达式y = k/x中，得2 = k/6。解得k = 12。
∴y关于x的函数表达式为y = 12/x。
(2)
∵小孔到蜡烛的距离为4cm，即x = 4，把x = 4代入y = 12/x中，得y = 12/4 = 3。
∴火焰的像高为3cm。
(3)由
(2)，得当火焰的像高为3cm时，小孔到蜡烛的距离为4cm，
所以若火焰的像高不得超过3cm，则小孔到蜡烛的距离至少是4cm。

21.(8分)如图1是位于青岛的海景摩天轮“琴岛之眼”,游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势。图2是它的简化示意图,点O是摩天轮的圆心,AB是摩天轮垂直于地面的直径,小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为24°,她沿水平方向向左行走122m到达点D,再沿着坡度i = 0.75的斜坡走了20m到达点C,然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处(点A,B,C,D,E均在同一平面内),求摩天轮AB的高度。(结果保留整数,参考数据:sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°≈0.45)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解:如图，过点B作BM⊥ED交ED的延长线于点M，过点C作CN⊥DM于点N。

由题意，得MN = BC = 40m，DE = 122m，CD = 20m，BM = CN，∠AED = 24°。
在Rt△CDN中，i = CN/DN = 0.75 = 3/4，
设CN = 3x m(x＞0)，则DN = 4x m。
∴CD = √(CN² + DN²) = 5x = 20。
解得x = 4。
∴CN = 12m，DN = 16m。
∴BM = 12m，EM = MN + DN + DE = 40 + 16 + 122 = 178m。
在Rt△AEM中，tan∠AEM = AM/EM，AM = AB + BM = 12 + AB，EM = 178m，
∴AM/EM = (12 + AB)/178 = tan24°≈0.45。
∴AB = 178×0.45 - 12≈68(m)。
∴摩天轮AB的高度约为68m。