《2025年考前示范卷九年级数学全一册人教版》

三、作图题(本题满分4分,用圆规和直尺作图,不写作法,保留痕迹)
17.(4分)已知:线段a,b,求作:矩形ABCD,使对角线AC=a,边BC=b。

答案：
解:如图，矩形ABCD即为所求作。
　　　　　

18.(8分)(1)解方程:2x²−4x=1;
　　(2)在平面直角坐标系中,将抛物线y=x²−4x+1的图象向上平移n(n是正整数)个单位长度,使
　平移后的图象与x轴有且只有一个交点,求n的值。

答案： 解:
(1)x²−2x+1=$\frac{1}{2}$+1。
　　(x−1)²=$\frac{3}{2}$。
　　x−1=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$
　
∴x₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1,x₂= - $\frac{\sqrt{6}}{2}$+1。
(2)设平移后的抛物线的表达式为y=x²−4x+1+n。这里a=1,b=−4,c=1+n。
　
∵平移后的图象与x轴有且只有一个交点，
　
∴b²−4ac=16−4(1+n)=0。
　　解得n=3。
　
∴n的值为3。

19.(6分)从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛,求下列事件发生的
　概率。
　(1)甲一定参加比赛,再从其余3名学生中任意选取1名,恰好选中丙的概率是________;
　(2)任意选取2名学生参加比赛,求一定有乙的概率。(用树状图或列表的方法求解)

答案： 解:
(1)由甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能的结果，符合条件的结果有1种，
　　所以甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是$\frac{1}{3}$。
　　故答案为$\frac{1}{3}$。
(2)列表如下:
　　　共有12种等可能的结果，符合条件的结果有6种。
　　所以任意选取2名学生参加比赛，一定有乙的概率为$\frac{6}{12}$=$\frac{1}{2}$。

20.(6分)在一次数学课外实践活动中,某小组要测量一幢大楼MN的高度,如图,在山坡的坡脚A
　处测得大楼顶部M的仰角是58°,沿着山坡向上走75米到达B处,在B处测得大楼顶部M的仰
　角是22°,已知斜坡AB的坡度i=3:4(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),求大楼MN
　的高度。(图中的点A,B,M,N,C均在同一平面内,N,A,C在同一水平线上,参考数据:tan22°≈0.4,tan58°~1.6)
　　　

答案：
解:如图,过点B分别作BE⊥AC,BF⊥MN,垂足分别为E,F。
　　　　　　
由题意,得∠BEA=∠BFN=∠BFM=∠FNE =90°。
　　四边形BENF为矩形。
　
∴BE=FN,BF=NE。
　　设MN=x,在Rt△ABE中,
　　斜坡坡度i=3:4,即$\frac{BE}{AE}$=$\frac{3}{4}$,$\frac{BE}{AB}$=$\frac{3}{5}$。
∵AB=75米,
∴BE=45米,AE=60米。
∴FN=45米。
∴MF=(x−45)米。
　在Rt△AMN中,
∵tan∠MAN=$\frac{MN}{AN}$,∠MAN=58°,
∴tan58°=$\frac{x}{AN}$≈1.6。
∴AN≈$\frac{x}{1.6}$=$\frac{5}{8}x$米。
∴NE=AN+AE=($\frac{5}{8}x$+60)米。
　在Rt△BMF中,
∵tan∠MBF=$\frac{MF}{BF}$,∠MBF=22°,
∴tan22°=$\frac{x−45}{BF}$≈0.4。
∴BF≈$\frac{x - 45}{0.4}$=$\frac{5}{2}$(x−45)米。
∴$\frac{5}{8}x$+60=$\frac{5}{2}$(x−45)。
　解得x=92。
∴大楼MN的高度为92米。