《2025年考前示范卷九年级数学全一册人教版》

23. (8分)如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,BD⊥BC,垂足为B,BD⊥AD,垂足为D,OB=
　OD,E,F分别是OA,OC的中点,连接BE,BF,DE,DF。
　(1)求证:OE=OF;
　(2)从下列条件中任选一个作为已知条件后,试判断四边形BEDF的形状,并证明你的结论。
　①∠A0D=60°;②AC=2BD。
　选择的条件:________(填写序号)。
　(注:如果选择①,②分别进行解答,按第一个解答计分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
(1)证明:
∵$BD⊥BC$，$BD⊥AD$，
∴$∠ODA = ∠OBC = 90°$。
在$△AOD$和$△COB$中，
$∠ODA = ∠OBC$，
$OD = OB$，
$∠AOD = ∠COB$，
∴$△AOD ≌ △COB(ASA)$。
∴$OA = OC$。
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴$OE = \frac{1}{2}OA$，$OF = \frac{1}{2}OC$。
∴$OE = OF$。
(2)选择条件①，四边形BEDF为矩形。
证明:因为E是OA的中点，$∠ODA = 90°$，
∴$DE = OE$。
∵$∠AOD = 60°$，
∴$△DEO$为等边三角形。
∵$OD = OB$，$OE = OF$，
∴四边形BEDF为平行四边形。
∵$OD = OB = OE = OF$，
∴$EF = BD$。
∴四边形BEDF为矩形。
若选择条件②，四边形BEDF为矩形。
证明:由
(1)，知$△AOD ≌ △COB(ASA)$，
∴$OA = OC$。
∵$AC = 2BD$，
∴$OA = OC = BD$。
∵E，F分别是OA，OC的中点，$OB = OD$，
∴$OD = OB = OE = OF$。
∴四边形BEDF为矩形。