《2025年考前示范卷九年级数学全一册人教版》

19. (6 分)甲、乙两栋楼的位置如图所示，甲楼 AB 高 16 米，当地中午 12 时，物高与影长的比是 1:$\sqrt{2}$
(1)如图 1，当地中午 12 时，甲楼的影子刚好不落到乙楼上，则两楼间距 BD 的长为________米;
(2)当地下午 14 时，物高与影长的比是 1:2，如图 2，甲楼的影子有一部分落在乙楼上，求落在乙楼上的影子 DE 的长。
　

答案：
解:
(1)由题意，得$\frac{AB}{BD}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，即$\frac{16}{BD}=\frac{1}{\sqrt{2}}$。
解得$BD = 16\sqrt{2}$米。
故答案为$16\sqrt{2}$。
(2)如图，过点E作$EF⊥AB$于点F。
在$Rt△AEF$中，$∠AFE = 90°$，
$EF = BD = 16\sqrt{2}$米。
∵下午14时物高与影长的比是$1:\sqrt{2}$，

∴$\frac{AF}{EF}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，则$AF = \frac{1}{\sqrt{2}}EF = 8\sqrt{2}$米。
$DE = BF = AB - AF = (16 - 8\sqrt{2})$米。
∴落在乙楼上的影子DE的长为$(16 - 8\sqrt{2})$米。

20. (8 分)2022 年北京冬奥会的召开惊艳世界，冬奥村的餐厅更是得到了各国运动员的好评。运动员主餐厅位于北京冬奥村居住区西南侧，共设置了世界餐台、亚洲餐台、中餐餐台、清真餐台、鲜果台、面包和甜品台等 12 种餐台。一送餐机器人从世界餐台 A 处向正南方向走 200 米到达亚洲餐台 B 处，再从 B 处向正东方向走 500 米到达中餐餐台 C 处，然后从 C 处向北偏西 37°走到就餐区 D 处，最后从 D 处回到 A 处，已知就餐区 D 在 A 的北偏东 73°方向，求中餐餐台 C 到就餐区 D (即 CD)的距离。(结果保留整数)(参考数值:sin73°≈$\frac{19}{20}$，cos73°≈$\frac{29}{100}$，tan73°≈$\frac{10}{3}$，sin37°≈$\frac{3}{5}$，cos37°≈$\frac{4}{5}$，tan37°≈$\frac{3}{4}$)
　　

答案：
解:如图，过点D作$DM⊥AB$于点M，过点C作$CE⊥DM$于点E，设$CD$为$x$米。

由题意，得$AB = 200$米，$BC = 500$米。
在$Rt△CED$中，$∠ECD = 37°$，$CD = x$米，
$cos∠ECD = \frac{CE}{CD}$，$sin∠ECD = \frac{DE}{CD}$，
∴$CE = CD\cdot cos37°\approx\frac{4}{5}x$米，$DE = CD\cdot sin37°\approx\frac{3}{5}x$米。
∴$MD = BC - DE = (500 - \frac{3}{5}x)$米；
在$Rt△AMD$中，$∠MAD = 73°$，$tan∠MAD = \frac{MD}{AM}$，
∴$AM = \frac{MD}{tan73°}\approx\frac{500 - \frac{3}{5}x}{\frac{10}{3}} = (150 - \frac{9}{50}x)$米。
∵$AB + AM = BM = CE$，
∴$200 + 150 - \frac{9}{50}x = \frac{4}{5}x$
解得$x = \frac{2500}{7}\approx357$。
∴中餐餐台C到就餐区D的距离约为357米。