《2025年考前示范卷九年级数学全一册人教版》

22.(8分)如图,在矩形ABCD中,AB = 3,BC = 4,G,H分别是AB,DC的中点,E,F是对角线AC上的两个点,AE = FC。
　(1)判断四边形EGFH的形状,并说明理由;
　(2)若四边形EGFH为矩形,求AE的长度。
　　　　

答案：
解:
(1)四边形EGFH是平行四边形。
理由如下:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB = CD，AB//CD。
∴∠GAE = ∠HCF。
∵G，H分别是AB，DC的中点，
∴AG = BG = 1/2AB，CH = DH = 1/2CD。
∴AG = CH。
在△AEG与△CFH中，
AG = CH，
∠GAE = ∠HCF，
AE = CF，
∴△AEG≌△CFH(SAS)
∴GE = HF。
同理可得GF = HE。
∴四边形EGFH是平行四边形。
(2)如图，连接GH交AC于点O。
由
(1)，得四边形EGFH是平行四边形，
∴OE = OF。
又
∵AE = FC，
∴OE + AE = OF + FC，
即OA = OC。
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB = CD，AB//CD，∠B = 90°。
∴AC = √(AB² + BC²) = √(3² + 4²) = 5。
∴OA = OC = 1/2AC = 5/2。
∵G，H分别是AB，DC的中点，
∴BG = CH。
∴四边形BCHG是平行四边形。
∴GH = BC = 4。
∵四边形EGFH是矩形，
∴EF = GH = 4，OE = OF = 1/2EF = 2。
∵E，F是对角线AC上的两个点，
∴AE的长度有两种情况，分别是①点E在OA上，点F在OC上和②点E在OC上，点F在OA上。分类讨论如下:
①当点E在OA上，点F在OC上时，如图1，

AE = OA - OE = 5/2 - 2 = 1/2。
②当点E在OC上，点F在OA上时，如图2，

AE = OA + OE = 5/2 + 2 = 9/2。
综上所述，若四边形EGFH为矩形，AE的长度为1/2或9/2。

23.(10分)[初建模型]如图1,△ABC和△ADE都是等腰三角形,AD = AE,AB = AC,∠BAC = ∠DAE,连接BD,CE。求证:BD = CE。分析:要证明BD = CE,我们可以通过________(只填序号)的方法证明△ADB和△AEC全等;
　①SSS;②ASA;③AAS;④SAS　
[类比探究]如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC = ∠ADE = 90°,连接BD,CE。
　请你写出BD与CE的数量关系,并说明理由;
[拓展提升]如图3,在图2的基础上,延长BD,交AC于点F,交CE的延长线于点G,求sin∠CGF 的值。
　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:[初建模型]
∵∠BAC = ∠DAE，
∴∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE。
∴∠DAB = ∠EAC
又
∵AD = AE，AB = AC，
∴由SAS可证明△ADB和△AEC全等。
故答案为④。
[类比探究]BD与CE的数量关系为√2BD = CE，
理由如下:
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD/AE = AB/AC = 1，∠DAE = ∠BAC = 45°。
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC。
∴∠BAD = ∠CAE。
∴△BAD∽△CAE。
∴BD/CE = AB/AC = 1/√2。
∴√2BD = CE。
[拓展提升]由[类比探究]，得△CAE∽△BAD。
∴∠ACE = ∠ABD
∵∠AFB = ∠CFG，
∴△BAF∽△CGF
∴∠BAF = ∠CGF。
∴sinG = sin∠BAC = BC/AC = √2/2。
∴sinG的值为√2/2。