《2025年考前示范卷九年级数学全一册人教版》

24. (10分)“活力海洋之都,精彩宜人之水”,青岛获评2023年中国十大旅游目的地必去城市。为宣传青岛城市文化,某景区研发出一款文创纪念品,投入景区内进行销售。已知该文创纪念品每件的成本为20元,销售一段时间后发现,每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系如图所示,该图象是直线的一部分。设该文创纪念品每天的销售利润为w元。
　(1)求y与x之间的函数表达式;
　(2)该景区要想使这种文创纪念品的销售利润达到每天6000元,每件文创纪念品的定价应为多少元？
　(3)若规定该文创纪念品的利润率不得高于60%,当销售单价定为多少元时,每天的获利最大?最大利润是多少?
　　　

答案： 解:
(1)由题意，设y与x之间的函数表达式为$y = kx + b(k ≠ 0)$。
∵该函数图象过点(30, 350)，(50, 250)，
∴$\begin{cases}30k + b = 350\\50k + b = 250\end{cases}$。解得$\begin{cases}k = - 5\\b = 500\end{cases}$。
∴y与x之间的函数表达式为$y = - 5x + 500$。
(2)由题意，得每天的销售利润$w = (x - 20)( - 5x + 500)$。
∴若要使每天销售利润达到6000元，
则$6000 = (x - 20)( - 5x + 500)$。
解得$x = 40$或$x = 80$。
∴该景区要想使这种文创纪念品每天的销售利润达到6000元，每件文创纪念品的定价应为40元或80元。
(3)由题意，得每天的销售利润$w = (x - 20)( - 5x + 500)$
$= - 5x^2 + 600x - 10000$
$= - 5(x^2 - 120x) - 10000$
$= - 5(x^2 - 120x + 3600) + 8000$
$= - 5(x - 60)^2 + 8000$。
∵该文创纪念品的利润率不得高于60%，
∴每件文创纪念品的利润$≤ 20×60\%$。
∴每件文创纪念品的利润不超过12元。
∴销售单价x的取值范围为$0＜x ≤ 12 + 20$，即$0＜x ≤ 32$。
∵$a = - 5＜0$，
∴当$x = 32$，即销售单价定为每件32元时，每天的获利最大，最大利润是$- 5×(32 - 60)^2 + 8000 = 4080$(元)。

25. (12分)如图1,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,点P从点A出发,沿AD方向作匀速运动,速度为2cm/s;同时,点Q从点A出发,沿AB方向匀速运动,速度为1cm/s。过点Q作QE//AC,交BC于点E,连接PE,PQ。设运动时间为t(s)(O＜t＜4),请解答下列问题:
　(1)当t为何值时,PE//CD?　　.
　(2)设△EPQ的面积为S(cm²),求S与t之间的函数表达式;
　(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使S△EPQ:S△AcD=15:24？若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
　(4)如图2,0为AC的中点,连接OE。当△CEO为等腰三角形时,请直接写出t的值。

答案：
解:
(1)
∵四边形ABCD为矩形，
∴$∠D = ∠DAB = ∠B = 90°$，$BC = AD = 8cm$。
在$Rt△ABC$中，$AB = 6cm$，$BC = 8cm$，
∴$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = 10cm$。
由题意，得$AP = 2tcm$，$AQ = tcm$，
∴$PD = (8 - 2t)cm$，$BQ = (6 - t)cm$。
∵$QE//AC$，
∴$△BEQ∽△BCA$。
∴$\frac{BQ}{BA} = \frac{BE}{BC}$。
∴$\frac{6 - t}{6} = \frac{BE}{8}$。
∴$BE = \frac{4}{3}(6 - t)cm$。
∵$PE//CD$，$BC//AD$，
∴四边形PDCE为平行四边形。
∴$CE = PD$。
∴$BC - CE = AD - PD$，即$BE = PA$。
∴$\frac{4}{3}(6 - t) = 2t$。
解得$t = 2.4$。
∴当$t = 2.4$时，$PE//CD$。
(2)$S = S_{梯形APEB} - S_{△APQ} - S_{△BEQ}$
$= \frac{1}{2}(AP + BE)×AB - \frac{1}{2}×AP×AQ - \frac{1}{2}×BQ×BE$
$= \frac{1}{2}[2t + \frac{4}{3}(6 - t)]×6 - \frac{1}{2}×2t×t - \frac{1}{2}(6 - t)×\frac{4}{3}(6 - t)$
$= (6t + 24 - 4t) - t^2 - (24 - 8t + \frac{2}{3}t^2)$
$= - \frac{5}{3}t^2 + 10t$。
∴S与t之间的函数表达式为$S = - \frac{5}{3}t^2 + 10t$。
(3)存在某一时刻t，使$S_{△EPQ}:S_{△ACD} = 15:24$。
∵$S_{△ACD} = \frac{1}{2}×AD×DC = \frac{1}{2}×8×6 = 24$，
$S_{△EPQ}:S_{△ACD} = 15:24$，
∴$\frac{ - \frac{5}{3}t^2 + 10t}{24} = \frac{15}{24}$。
∴$ - \frac{5}{3}t^2 + 10t = 15$。
∴$t^2 - 6t + 9 = 0$。
解得$t_1 = t_2 = 3$。
∴当$t = 3$时，$S_{△EPQ}:S_{△ACD} = 15:24$。
(4)若$△CEO$为等腰三角形，则有$EC = EO$，$EC = CO$，$EO = CO$三种情况。分类讨论如下:
①当$EC = EO$时，如图，过点E作$EH⊥OC$于点H。

∵O为AC的中点，$AC = 10cm$，
∴$OC = \frac{1}{2}AC = 5cm$。
∵$EC = EO$，$EH⊥OC$，
∴$OH = CH = \frac{1}{2}OC = \frac{5}{2}cm$。
∵$∠ECH = ∠ACB$，$∠EHC = ∠B = 90°$，
∴$△CEH∽△CAB$。
∴$\frac{CH}{CB} = \frac{CE}{CA}$。
∵$CE = BC - BE = 8 - \frac{4}{3}(6 - t)$，
∴$\frac{\frac{5}{2}}{8} = \frac{8 - \frac{4}{3}(6 - t)}{10}$。
解得$t = \frac{75}{32}$。
②当$EC = CO$时，
∵O为AC的中点，$AC = 10cm$，
∴$OC = \frac{1}{2}AC = 5cm$。
∴$EC = 5cm$。
∵$EC = BC - BE$，
∴$8 - \frac{4}{3}(6 - t) = 5$。
∴$t = \frac{15}{4}$。
③当$OE = CO$时，
∴$OE = 5$。
此时，点E与点B重合，不符合题意，舍去。
综上所述，当$△CEO$为等腰三角形时t的值为$\frac{15}{4}$或$\frac{75}{32}$。