《2025年考前示范卷九年级数学全一册人教版》

19.(6分)将一块长方体蛋糕平均分成3份,若按照如图1的方式进行分割,每份的蛋糕胚一样多，但奶油不一样多(①和③奶油多,②奶油少),那么如何分割,才能使得3份的蛋糕胚和奶油一样多呢？如图2,首先我们可以将蛋糕抽象成矩形,用加粗线条表示有奶油的边,然后将矩形沿其对角线分割并拼成如图3的平行四边形ABCD,分别取边AB,CD的三等分点E,F和G,H,如图4,按EG,FH分割成3份(I,II,III),此种分法能够保证每份的蛋糕胚一样多。奶油是否一样多,我们只需判断每份中加粗线条的长度和是否相等,请你给出判断并加以证明。
　　　

答案：
解:此种分法能够保证奶油一样多。证明如下:如图,设BD与FH交于点M，与EG交于点N，过点N作NP//AB交FH于点P。

∵四边形ABCD为平行四边形，E，F为AB边的三等分点，G，H为CD边的三等分点，
∴AB//DC，BF = CH = EF = GH = AE = DG。
∴四边形FBCH，EFHG，AEGD均为平行四边形。
∵NP//EF，EN//FP，
∴四边形EFPN为平行四边形，∠FBM = ∠PNM。
∴NP = EF = BF = DG。
在△FBM和△PNM中，
∠FMB = ∠PMN，
∠FBM = ∠PNM，
BF = NP，
∴△FBM≌△PNM(AAS)。
∴BM = NM。
同理得△PNM≌△GDN，则NM = DN。
∴BM = NM = DN。
∴AE + DG + DN = EF + GH + NM = BF + CH + BM。
∴此种分法能够保证奶油一样多。

20.(8分)2023年,中国航天迈着大步向浩瀚宇宙不断探索。这一年,神舟十六号载人航天飞船成功发射。某航模专卖店向航天爱好者推出了“神舟十六号”飞船模型。每个模型的进价是80元,原计划按每个120元销售，每月能售出30个,经调查发现,这种模型每个降价1元,则每月销售量将增加2个。
(1)直接写出每月销售量y(个)与每个降价x(元)的函数表达式;
(2)设专卖店销售这种模型每月可获利w元,当每个降价多少元时,每月获得的利润最大？最大利润是多少？

答案： 解:
(1)每月销售量y(个)与每个降价x(元)的函数表达式为y = 30 + 2x。
(2)根据题意，得
w = (120 - 80 - x)(30 + 2x)
= -2x² + 50x + 1200
= -2(x - $\frac{25}{2}$)² + $\frac{3025}{2}$。
所以当每个降价$\frac{25}{2}$元时，每月获得的利润最大，最大利润是$\frac{3025}{2}$元。

21.(8分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E为OC的中点,过点O作OH//BC交BE的延长线于点H,连接CH,DH。
(1)求证:△BCE≌△HOE;
(2)当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时,四边形OCHD为菱形？请说明理由。
　　　　　　

答案：
(1)证明:
∵OH//BC，
∴∠BCE = ∠HOE。
∵E是OC的中点，
∴CE = OE。
在△BCE和△HOE中，
∠BCE = ∠HOE，
CE = OE，
∠BEC = ∠HEO，
∴△BCE≌△HOE(ASA)。
(2)解:当四边形ABCD是矩形时，四边形OCHD为菱形。理由如下:
由
(1)，知△BCE≌△HOE，
∴BE = HE。
∵CE = OE，
∴四边形BCHO是平行四边形。
∴CH = OB，CH//OB。
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA = OC = $\frac{1}{2}$AC，OB = OD = $\frac{1}{2}$BD，AC = BD。
∴CH = OD，OC = OD。
∴四边形OCHD是平行四边形。
又
∵OC = OD，
∴平行四边形OCHD是菱形。