《2025年考前示范卷九年级数学全一册人教版》

21.(6分)如图,一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y2=$\frac{m}{x}$的图象相交于A,B两点,与x轴,y轴分别交于D,C两点,已知sin∠CDO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,△BOD的面积为1。
　(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
　(2)当y1＞y2时,请直接写出x的取值范围。
　　　　

答案： 解:
(1)由题意,得点C(0,1)。
∴OC=1。
　在Rt△ODC中,OC=1,sin∠CDO=$\frac{\sqrt{5}}{5}$,
∴$\frac{OC}{CD}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$。
∴CD=$\sqrt{5}$
∵CD=$\sqrt{5}$,OC=1,
∴OD=$\sqrt{CD²−OC²}$=$\sqrt{5−1}$=2。
∴点D(−2,0)。
　把点D(−2,0)代入一次函数表达式y₁=kx+1,得−2k+1=0。解得k=$\frac{1}{2}$。
∴一次函数的表达式为y₁=$\frac{1}{2}$x+1。
　设点B(x,y)。
∵△BOD的面积为1,
∴$\frac{1}{2}$×2×|y|=1。
∵点B在第三象限，
∴y＜0。
∴y=−1。
∵点B在一次函数图象上，
∴−1=$\frac{1}{2}$x+1。解得x=−4。
∴点B(−4,−1)。
∵点B在反比例函数y₂=$\frac{m}{x}$图象上
∴m=−4×(−1)=4。
∴反比例函数的表达式为y₂=$\frac{4}{x}$。
(2)联立一次函数表达式与反比例函数表达式，得$\begin{cases}y_1=\frac{1}{2}x + 1\\y_2=\frac{4}{x}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x_1=-4\\y_1=-1\end{cases}$，$\begin{cases}x_2=2\\y_2=2\end{cases}$。
∵点A在第一象限，
∴点A(2,2)。
　观察图象，当y₁＞y₂时,x的取值范围是−4＜x＜0 或x＞2。

22.(6分)如图1,点P在正方形ABCD的对角线AC上,正方形ABCD的边长是α,Rt△PEF的两条直角边PE,PF分别交边BC,DC于点M,N。
　　(1)操作发现:如图2,固定点P,使△PEF绕点P旋转。
　①当PM⊥BC,AP=2PC时,四边形PMCN的边PM的长是________;
　②(2当)猜P想M论⊥B证C:,如AP图=n3P,C将(四n是边正形实AB数C)D时的,形四状边变形为PM矩C形N,的AB面=积a,是AD________=b,点P;在矩形ABCD的对角线AC上,Rt△PEF的两条直角边PE,PF分别交边BC,DC于点M,N,固定点P,使△PEF绕点P 旋转,则$\frac{PM}{PN}$=________。
　　　　　　　　　　　　

答案：
解:
(1)①
∵PM⊥BC,AB⊥BC,
　
∴PM//AB。
　
∴△PMC∽△ABC。
　
∴$\frac{CP}{CA}$=$\frac{PM}{AB}$。
　　又
∵AP=2PC,
∴PC=$\frac{1}{3}$CA,即$\frac{CP}{CA}$=$\frac{1}{3}$。
　
∴$\frac{PM}{AB}$=$\frac{1}{3}$,即$\frac{PM}{a}$=$\frac{1}{3}$。
　
∴PM=$\frac{1}{3}$a,即四边形PMCN的边PM的长是$\frac{1}{3}$a。故答案为$\frac{1}{3}$a。
　　②当AP=nPC(n是正实数)时,$\frac{PC}{AC}$=$\frac{1}{n + 1}$。
　　由
(1),知△PMC∽△ABC,
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PM}{AB}$=$\frac{1}{n + 1}$。
　
∴PM=$\frac{a}{n + 1}$。
　　由题意,得∠PMC=∠MCN=∠MPN=90°。
　
∴四边形PMCN为矩形。
　
∵△PMC∽△ABC,
　
∴$\frac{PM}{AB}$=$\frac{MC}{BC}$。
　
∵AB=BC,
　
∴PM=MC。
　
∴四边形PMCN为正方形。
∴S = PM² = ($\frac{a}{n + 1}$)² = $\frac{a^2}{(n + 1)^2}$。
　答案为$\frac{a^2}{(n + 1)^2}$。
(2)如图3,过点P作PG⊥BC于点G,过点P作PH⊥CD于点H。
　　　　
由题意,得∠PGM=∠PHC=∠GCH=90°。
∴四边形GPHC为矩形。
∴∠GPH=90°。
∵在Rt△PEF中,∠FPE=90°,
∴∠GPH−∠EPH=∠FPE−∠EPH,即∠GPM =∠HPN。
∴△PGM∽△PHN。
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{PG}{PH}$。
∵PG//AB,PH//AD,
∴$\frac{PG}{AB}$=$\frac{CP}{CA}$=$\frac{PH}{AD}$。
∵AB=a,AD=b,
∴$\frac{PG}{a}$=$\frac{PH}{b}$,即$\frac{PG}{PH}$=$\frac{a}{b}$。
∴$\frac{PM}{PN}$=$\frac{a}{b}$。故答案为$\frac{a}{b}$。