《2025年考前示范卷九年级数学全一册人教版》

三、作图题(本大题共1小题,共4分)
15.(4分)如图是一块木板下脚料,小明想用这块木板做一个菱形学具,请你帮他在木板上画出以∠A为一个内角且面积最大的菱形。用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹。
　　　　　　　　　　　　　　　

答案：
解:如图，菱形ABCD即为所求作。

16.(8分)(1)计算:sin²30°−2cos45°+$\frac{1}{2}$$\sqrt{8}$　　　　　(2)解方程:2x²+6x−1=0。

答案： 解:
(1)原式 = $\frac{1}{4}\sqrt{2}$ + $\sqrt{2}$ = $\frac{5}{4}\sqrt{2}$。
(2)
∵a = 2，b = 6，c = -1，
∴b² - 4ac = 36 + 4×2×1 = 44＞0。
∴x = $\frac{-6 ± \sqrt{44}}{4}$ = $\frac{-6 ± 2\sqrt{11}}{4}$ = $\frac{-3 ± \sqrt{11}}{2}$。
∴x₁ = $\frac{-3 + \sqrt{11}}{2}$，x₂ = $\frac{-3 - \sqrt{11}}{2}$。

17.(6分)中国共产党的助手和后备军——中国共青团,担负着为中国特色社会主义事业培养合格建设者和可靠接班人的根本任务。某校举办了党史宣讲活动庆祝共青团成立一百周年,九年级(1)班将从报名的5名学生(其中有2名男生,3名女生)中随机抽取两名同学担任党史宣讲员。请利用树状图或列表法求抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的概率。

答案：
解:画树状图如下:

男女女女 男女女女 男男女女 男男女女 男男女女
共有20种等可能的结果，其中抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的结果有12种，所以抽取的2名学生中恰有一名男生和一名女生的概率为$\frac{12}{20}$ = $\frac{3}{5}$。

18.(6分)某学校购进了一批测温仪,如图1,图2是该种测温仪的侧面结构示意图,测温仪的长AB=21cm,测温距离是AD=BC=12cm,CL⊥AG,当测温仪与竖直方向的夹角∠HIA=37°时,测温仪能够测量的最大高度AG与最小高度CF的差值AL是多少？(参考数据:sin37°≈$\frac{3}{5}$,cos37°≈$\frac{4}{5}$,tan37°≈$\frac{3}{4}$)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案： 解:
∵测温仪与竖直方向的夹角∠HIA = 37°，JI//AG，
∴∠AKD = ∠CKL = ∠HIA = 37°。
∵sin∠AKD = $\frac{AD}{AK}$，
∴AK = $\frac{AD}{sin37°}$ = $\frac{12}{\frac{3}{5}}$ = 20(cm)。
∵tan∠AKD = $\frac{AD}{DK}$，
∴DK = $\frac{AD}{tan37°}$ = $\frac{12}{\frac{3}{4}}$ = 16(cm)。
∴CK = CD - DK = AB - DK = 21 - 16 = 5(cm)。
∵cos∠CKL = $\frac{KL}{CK}$，
∴KL = CK·cos37° ≈ 5×$\frac{4}{5}$ = 4(cm)。
∴AL = AK + KL = 20 + 4 = 24(cm)。
∴测温仪能够测量的最大CF的差值AL是24cm。