《2025年考前示范卷九年级数学全一册人教版》

19. (9分)如图,一次函数y = x + 3的图象与反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k ≠ 0)的图象交于点A与点B(a, -1)。
(1) 求反比例函数的表达式;
(2) 若P是第一象限内双曲线上的点(不与点A重合),连接OP,且过点P作y轴的平行线，与直线AB相交于点C,连接OC,若△POC的面积为3,求点P的坐标。

答案： 解:
(1)将点B(a,−1)代入一次函数y = x + 3中，得a = −4。
∴点B的坐标为(−4,−1)。
将点B(−4,−1)代入反比例函数y = $\frac{k}{x}$中，得k = 4。
∴反比例函数的表达式为y = $\frac{4}{x}$。
(2)设点P的坐标为(m,$\frac{4}{m}$)，点C的坐标为(m,m + 3)。
∴PC = |$\frac{4}{m}$ - (m + 3)|，点O到直线PC的距离为|m|。
∴S△POC = $\frac{1}{2}$×|m|×|$\frac{4}{m}$ - (m + 3)| = 3
∴|m|×|$\frac{4}{m}$ - m - 3| = 6。
∴|4 - m² - 3m| = 6。
∴ - m² - 3m + 4 = 6或 - m² - 3m + 4 = - 6。
解得m = - 1或 - 2或 - 5或2。
∵一次函数y = x + 3的图象与反比例函数y = $\frac{k}{x}$(k≠0)的图象交于点A，
∴$\begin{cases}y = x + 3\\y = \frac{4}{x}\end{cases}$，
∴$\begin{cases}x = 1\\y = 4\end{cases}$或$\begin{cases}x = - 4\\y = - 1\end{cases}$。
∵点A位于第一象限内，
∴点A(1,4)。
∵点P不与点A重合，
∴m≠1。
又
∵m＞0，
∴m = 2。
∴点P的坐标为(2,2)。

20. (9分)某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚,其侧面如图2所示,遮阳棚展开长度AB = 200cm,遮阳棚前端自然下垂的长度BC = 25cm,遮阳棚固定点A距离地面高度AD = 296.8cm,遮阳棚与墙面的夹角∠BAD = 72°。
(1) 求遮阳棚前端B到墙面AD的距离;
(2) 如图3,某一时刻,太阳光线与地面夹角∠CFG = 60°,求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长。(结果精确到1cm)(参考数据:sin72°≈0.951,cos72°≈0.309,tan72°≈3.078,$\sqrt{3}$≈1.732)

答案：
解:
(1)如图1,过点B作BE⊥AD于点E。

∵AB = 200cm,∠BAD = 72°,
∴在Rt△ABE中,sin∠BAE = $\frac{BE}{AB}$,即sin72° = $\frac{BE}{200}$。
∴BE = AB×sin72° = 200×sin72°≈200×0.951 = 190.2(cm)。
∴遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为190.2cm。
如图2,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CH⊥AD于点H,延长BC交DG于点K,则BK⊥光线。

由题意，得四边形BEHC、四边形HDKC是矩形。
由
(1)得，BE = 190.2cm。
∴DK = HC = BE = 190.2cm。
在Rt△ABE中,cos∠BAE = $\frac{AE}{AB}$,即cos72° = $\frac{AE}{200}$。
∴AE = cos72°×200≈0.309×200 = 61.8(cm)。
由题意，得EH = BC = 25cm。
∴DH = AD - AE - EH = 296.8 - 61.8 - 25 = 210(cm)。
∴CK = DH = 210cm。
在Rt△CFK中,tan∠CFK = $\frac{CK}{FK}$,即tan60° = $\frac{210}{FK}$。
∴FK = $\frac{210}{tan60°}$ = $\frac{210}{\sqrt{3}}$≈121.25(cm)。
∴DF = DK - FK = 190.2 - 121.25≈69(cm)。
∴遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为69cm。