《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. [山西省实验中学2023高二月考]现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，分别带着A,B,C,D,E五个不同的礼物参加“抽盲盒”游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为 ( )
A. $\frac{4}{5}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{4}{7}$
D. $\frac{3}{8}$

答案： D

2. [陕西安康高新中学等校2024联考]甲、乙和另外5位同学站成两排拍照，前排3人，后排4人. 若每个人都随机站队，且前后排不认为相邻，则在甲、乙站在同一排的条件下，两人不相邻的概率为 ( )
A. $\frac{5}{14}$
B. $\frac{4}{9}$
C. $\frac{5}{9}$
D. $\frac{5}{6}$

答案： B

3. (多选) [江苏常州2023高二期中]一个质点从数轴上的原点出发，每一秒等可能地向前或向后移动1个单位长度，设第n秒末质点所在位置对应的数为随机变量$\xi _{n}$，则 ( )
A. $P(\xi _{4}=0)\lt P(\xi _{4}=2)$
B. $P(\xi _{5}=1)＞P(\xi _{5}=-3)$
C. $E(\xi _{4})=E(\xi _{6})$
D. $E(\xi _{5})＞E(\xi _{3})$

答案： BC

4. [重庆巴蜀中学2023适应性月考]第二十二届世界杯足球赛——卡塔尔世界杯已经落下帷幕，已知参加本届世界杯决赛的球队有32支，他们被均分成8个小组进行组内单循环赛，且每场比赛胜队得3分，负队得0分，平局时两队各得1分. 小组赛结束后，每个小组有且只有两队(积分最高的两队)进入16强. 假设本届世界杯A小组的甲、乙、丙、丁四支球队的实力非常接近，该组的每两队之间的比赛出现胜、负、平的概率都是$\frac{1}{3}$. 小组赛结束后，积分由高到低排序，取积分最高的两队进入16强；若需要从积分相同的球队中产生1个队或2个队进入16强，则要比较这些球队的净胜球数(净胜球数=进球数-丢球数)，净胜球数多的进入16强，假设积分相同的队净胜球数都不同，且谁多谁少的可能性相等. 记A小组的甲、乙、丙、丁四支球队的积分总和为X.
(1)求X的分布列和均值.
(2)已知A小组的甲球队小组赛的最后积分是6分，求甲球队进入16强的概率?

答案： [解]
(1)A小组的四支球队共要进行6 场比赛，每场比赛参赛的两队得分之和为2分或3分，并且和为2分的概率为$\frac{1}{3}$,和为3分的概率为$\frac{2}{3}$,所以X的取值可能为12,13,14,15,16,17,18.
$P(X=12)=(\frac{1}{3})^6=\frac{1}{729}$,
$P(X=13)=C_6^1(\frac{2}{3})(\frac{1}{3})^5=\frac{12}{729}=\frac{4}{243}$,
$P(X=14)=C_6^2(\frac{2}{3})^2(\frac{1}{3})^4=\frac{60}{729}=\frac{20}{243}$,
$P(X=15)=C_6^3(\frac{2}{3})^3(\frac{1}{3})^3=\frac{160}{729}$,
$P(X=16)=C_6^4(\frac{2}{3})^4(\frac{1}{3})^2=\frac{240}{729}=\frac{80}{243}$,
$P(X=17)=C_6^5(\frac{2}{3})^5(\frac{1}{3})=\frac{192}{729}=\frac{64}{243}$,
$P(X=18)=(\frac{2}{3})^6=\frac{64}{729}$,
所以X的分布列为
均值E(X)=$\frac{4}{243}$+$\frac{52}{243}$+$\frac{280}{243}$+$\frac{800}{243}$+$\frac{1280}{243}$+$\frac{1088}{243}$+$\frac{128}{81}$=16.
(2)甲球队最后积分是6分，说明甲队小组赛2胜1负，不妨设甲队胜了乙、丙队，负了丁队
下面以丁队积分Y的值进行讨论:①Y=9时,乙、丙两队积分之和不超过3
分,甲以小组第二进16强,$P(Y=9)=(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$
②Y=7时,乙、丙两队积分之和不超过4 分,甲以小组第二进16强,$P(Y=7)=C_2^1\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$
③Y=6时,丁队与乙、丙比赛一胜一负的概率为$C_2^1\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，不妨设丁胜乙负丙，分两种情况，
情况(-):乙、丙平局或乙胜丙的概率和为$\frac{2}{3}$,则甲和丁同积6分进16强，$P_1=\frac{2}{9}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{27}$;
情况(二):乙负丙的概率为$\frac{1}{3}$,此时甲、丁、丙同积6分,甲净胜球数进前两名的概率为$\frac{2}{3}$,则这种情况甲进16 强的概率$P_2=\frac{2}{9}\times\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{4}{81}$
综合上面两种情况,$P(Y=6)=\frac{4}{27}+\frac{4}{81}=\frac{16}{81}$
④Y=5时,丁队平乙、丙的概率为$\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{9}$,乙、丙积分之和最多积5分，甲队以小组第一进16强,$P(Y=5)=\frac{1}{9}$.⑤Y=4时,丁队对乙、丙一平一负的概率为$C_2^1\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$,甲一定能进16 强,$P(Y=4)=\frac{2}{9}$
⑥Y=3时,丁队负乙、丙的概率为$(\frac{1}{3})^2=\frac{1}{9}$,甲一定能进16强，$P(Y=3)=\frac{1}{9}$
综上所述，甲球队进16强的概率$P=\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{16}{81}+\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{79}{81}$.
多种解法　(间接法):甲积6分,乙、丙、丁三队积分总和小于或等于12分,
只有甲和另外两队同积6分，且甲在三队中净胜球数最少这种情况下，甲才不能进16强，
假设甲队胜了乙、丙队，负了丁队
则丁对乙、丙一胜一负的概率为$C_2^1\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，不妨设丁胜乙负丙，则丙积6分(胜乙)的概率为$\frac{1}{3}$,
此时甲、丁、丙同积6分，甲净胜球数最少的概率为$\frac{1}{3}$,故甲不能进16强的概率$P_0=\frac{2}{9}\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{81}$,
即甲进16强的概率$P=1 - P_0=\frac{79}{81}$

5. [江西部分学校2024高二期中联考]已知$n\in \mathbf{N}^{*},n＞2$，随机变量X的分布列为

设$E(X)=a_{n}$，则 ( )

A. 数列$\{ a_{n}\} (n\in \mathbf{N}^{*},n＞2)$单调递增
B. 数列$\{ a_{n}\} (n\in \mathbf{N}^{*},n＞2)$单调递减
C. 数列$\{ a_{n}\} (n\in \mathbf{N}^{*},n＞2)$先增后减
D. 数列$\{ a_{n}\} (n\in \mathbf{N}^{*},n＞2)$先减后增

答案： A　[解析]
∵$E(X)=4\times\frac{1}{n}+6\times\frac{1}{n}+8\times(1 - \frac{2}{n})=8 - \frac{6}{n}$
∴$a_n=8 - \frac{6}{n}$
当$n\in N^*,n＞2$时,数列$\{ a_n\}$单调递增.故选A.