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2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
1. 教材变式[吉林部分名校2024高二期末联考]$(x - \frac{2}{x^{3}})^{4}$的展开式中的常数项为 ( )
A. 12
B. 8
C. -12
D. -8
A. 12
B. 8
C. -12
D. -8
答案：
D 【解析】$(x - \frac{2}{x^{3}})^{4}$展开式的通项$T_{r + 1} = C_{4}^{r}x^{4 - r}(-\frac{2}{x^{3}})^{r}=(-2)^{r}C_{4}^{r}x^{4 - 4r}$。
令$4 - 4r = 0$，得$r = 1$，所以展开式中的常数项为$-2C_{4}^{1}=-8$。故选 D。
链接教材 本题是教材 P30 例 2 的变式。$(a + b)^{n}$展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$（其中$0\leq k\leq n,k\in N,n\in N^{*}$）。当$b$为负数时，展开时注意不要丢了负号。
令$4 - 4r = 0$，得$r = 1$，所以展开式中的常数项为$-2C_{4}^{1}=-8$。故选 D。
链接教材 本题是教材 P30 例 2 的变式。$(a + b)^{n}$展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$（其中$0\leq k\leq n,k\in N,n\in N^{*}$）。当$b$为负数时，展开时注意不要丢了负号。
2. 把$(\sqrt{3}i - x)^{10}$按二项式定理展开,展开式的第8项的系数为 ( )
A. 135
B. -135
C. $-360\sqrt{3}i$
D. $360\sqrt{3}i$
A. 135
B. -135
C. $-360\sqrt{3}i$
D. $360\sqrt{3}i$
答案：
D 【解析】由题意得，展开式的第 8 项的系数为$C_{10}^{7}\times(\sqrt{3}i)^{3}\times(-1)^{7}=120\times3\sqrt{3}i = 360\sqrt{3}i$。故选 D。
避坑：注意第几项与二项式系数的对应
归纳总结 求展开式中的特定项或项的系数：①根据所给出的条件（特定项）和通项，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中$n$和$k$的隐含条件，即$n\in N^{*},k\in N$，且$n\geq k$）；②根据所求的指数，再求所求解的项。
避坑：注意第几项与二项式系数的对应
归纳总结 求展开式中的特定项或项的系数：①根据所给出的条件（特定项）和通项，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中$n$和$k$的隐含条件，即$n\in N^{*},k\in N$，且$n\geq k$）；②根据所求的指数，再求所求解的项。
3. [北京人大附中2023高二月考]已知$(ax + 1)^{5}$的展开式中$x^{3}$的系数是10,则实数a的值是______.
答案：
1 【解析】因为$(ax + 1)^{5}$的展开式的通项为$T_{r + 1}=C_{5}^{r}(ax)^{5 - r}=a^{5 - r}C_{5}^{r}x^{5 - r}(r = 0,1,2,3,4,5)$，又$(ax + 1)^{5}$的展开式中$x^{3}$的系数是 10，所以$5 - r = 3$，即$r = 2$，所以$a^{3}C_{5}^{2}=10$，解得$a = 1$。
4. 若将函数$f(x) = x^{4}$表示为$f(x) = a_{0} + a_{1}(1 + x) + a_{2}(1 + x)^{2} + a_{3}(1 + x)^{3} + a_{4}(1 + x)^{4}$,其中$a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}$为实数,则$a_{3} =$______.
答案：
-4
思路导引 等号左边是$x^{4}$，右边和$(x + 1)$有关，且$a_{3}$是$(1 + x)^{3}$的系数，则可将$x^{4}$配凑成和$(x + 1)$有关的式子，即为$[(x + 1)-1]^{4}$，将$(x + 1)$看成一个整体，结合二项式定理即可求出$a_{3}$。
【解析】由题可知$f(x)=x^{4}=[(x + 1)-1]^{4}=C_{4}^{0}(x + 1)^{4}+C_{4}^{1}(x + 1)^{3}\cdot(-1)+C_{4}^{2}(x + 1)^{2}(-1)^{2}+C_{4}^{3}(x + 1)\cdot(-1)^{3}+C_{4}^{4}(-1)^{4}$，又$f(x)=a_{0}+a_{1}(1 + x)+a_{2}(1 + x)^{2}+a_{3}(1 + x)^{3}+a_{4}(1 + x)^{4}$，所以$a_{3}=C_{4}^{1}\times(-1)=-4$。
思路导引 等号左边是$x^{4}$，右边和$(x + 1)$有关，且$a_{3}$是$(1 + x)^{3}$的系数，则可将$x^{4}$配凑成和$(x + 1)$有关的式子，即为$[(x + 1)-1]^{4}$，将$(x + 1)$看成一个整体，结合二项式定理即可求出$a_{3}$。
【解析】由题可知$f(x)=x^{4}=[(x + 1)-1]^{4}=C_{4}^{0}(x + 1)^{4}+C_{4}^{1}(x + 1)^{3}\cdot(-1)+C_{4}^{2}(x + 1)^{2}(-1)^{2}+C_{4}^{3}(x + 1)\cdot(-1)^{3}+C_{4}^{4}(-1)^{4}$，又$f(x)=a_{0}+a_{1}(1 + x)+a_{2}(1 + x)^{2}+a_{3}(1 + x)^{3}+a_{4}(1 + x)^{4}$，所以$a_{3}=C_{4}^{1}\times(-1)=-4$。
5. [江苏扬州中学2024高二月考]已知$(\sqrt{x} + \frac{2}{x^{2}})^{n}$的展开式中,第2项的系数与第3项的系数之比是1 : 9.
(1)求n的值;
(2)求展开式中的常数项.
(1)求n的值;
(2)求展开式中的常数项.
答案：
【解】
(1)由题可得展开式的通项为$T_{r + 1}=C_{n}^{r}(\sqrt{x})^{n - r}(\frac{2}{x^{2}})^{r}=C_{n}^{r}2^{r}x^{\frac{n}{2}-\frac{5}{2}r}$，
令$r = 1$，则第 2 项的系数为$C_{n}^{1}2^{1}$，令$r = 2$，则第 3 项的系数为$C_{n}^{2}2^{2}$，
所以第 2 项的系数与第 3 项的系数之比为$\frac{C_{n}^{1}2^{1}}{C_{n}^{2}2^{2}}=\frac{1}{9}$，解得$n = 10$。
(2)由
(1)知$n = 10$，所以展开式的通项为$T_{r + 1}=C_{10}^{r}(\sqrt{x})^{10 - r}(\frac{2}{x^{2}})^{r}=C_{10}^{r}2^{r}x^{5-\frac{5}{2}r}$，
令$5-\frac{5}{2}r = 0$，解得$r = 2$，
故常数项为$C_{10}^{2}2^{2}=180$。
特别注意 注意二项式系数和项的系数不是同一个概念，二项展开式中各项的二项式系数为$C_{n}^{k}(k = 0,1,2,\cdots,n)$，项的系数是指该项中除变量外的常数部分，包含符号等，但二项式系数与项的系数也有可能相同。
(1)由题可得展开式的通项为$T_{r + 1}=C_{n}^{r}(\sqrt{x})^{n - r}(\frac{2}{x^{2}})^{r}=C_{n}^{r}2^{r}x^{\frac{n}{2}-\frac{5}{2}r}$，
令$r = 1$，则第 2 项的系数为$C_{n}^{1}2^{1}$，令$r = 2$，则第 3 项的系数为$C_{n}^{2}2^{2}$，
所以第 2 项的系数与第 3 项的系数之比为$\frac{C_{n}^{1}2^{1}}{C_{n}^{2}2^{2}}=\frac{1}{9}$，解得$n = 10$。
(2)由
(1)知$n = 10$，所以展开式的通项为$T_{r + 1}=C_{10}^{r}(\sqrt{x})^{10 - r}(\frac{2}{x^{2}})^{r}=C_{10}^{r}2^{r}x^{5-\frac{5}{2}r}$，
令$5-\frac{5}{2}r = 0$，解得$r = 2$，
故常数项为$C_{10}^{2}2^{2}=180$。
特别注意 注意二项式系数和项的系数不是同一个概念，二项展开式中各项的二项式系数为$C_{n}^{k}(k = 0,1,2,\cdots,n)$，项的系数是指该项中除变量外的常数部分，包含符号等，但二项式系数与项的系数也有可能相同。
6. [陕西安康高新中学2024模拟]$(2x + \frac{1}{x})^{5} + (\sqrt{x} - 1)^{5}$的展开式中x的系数为 ( )
A. 30
B. 40
C. 70
D. 80
A. 30
B. 40
C. 70
D. 80
答案：
C 【解析】$(2x+\frac{1}{x})^{5}$展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{5}^{k}(2x)^{5 - k}(\frac{1}{x})^{k}=C_{5}^{k}\cdot2^{5 - k}\cdot x^{5 - 2k}(k = 0,1,\cdots,5)$，
令$5 - 2k = 1$，得$k = 2$，此时$T_{3}=C_{5}^{2}\cdot2^{3}\cdot x = 80x$。
$(\sqrt{x}-1)^{5}$展开式的通项$T_{r + 1}=C_{5}^{r}(\sqrt{x})^{5 - r}(-1)^{r}=C_{5}^{r}(-1)^{r}x^{\frac{5 - r}{2}}(r = 0,1,\cdots,5)$，
令$\frac{5 - r}{2}=1$，得$r = 3$，此时$T_{4}=C_{5}^{3}(-1)^{3}x=-10x$，
所以展开式中$x$的系数为$80 - 10 = 70$。
故选 C。
令$5 - 2k = 1$，得$k = 2$，此时$T_{3}=C_{5}^{2}\cdot2^{3}\cdot x = 80x$。
$(\sqrt{x}-1)^{5}$展开式的通项$T_{r + 1}=C_{5}^{r}(\sqrt{x})^{5 - r}(-1)^{r}=C_{5}^{r}(-1)^{r}x^{\frac{5 - r}{2}}(r = 0,1,\cdots,5)$，
令$\frac{5 - r}{2}=1$，得$r = 3$，此时$T_{4}=C_{5}^{3}(-1)^{3}x=-10x$，
所以展开式中$x$的系数为$80 - 10 = 70$。
故选 C。
7. [河南省实验中学2024高二期中]$(3x - y) \cdot (2x + y)^{5}$的展开式中,$x^{3}y^{3}$的系数为 ( )
A. 160
B. 40
C. 120
D. 80
A. 160
B. 40
C. 120
D. 80
答案：
B 【解析】$(2x + y)^{5}$展开式的通项为$T_{r + 1}=C_{5}^{r}(2x)^{5 - r}y^{r}=2^{5 - r}C_{5}^{r}x^{5 - r}y^{r}$，
当$r = 3$时，$T_{4}=2^{5 - 3}C_{5}^{3}x^{5 - 3}y^{3}=40x^{2}y^{3}$，此时只需乘第一个因式$(3x - y)$中的$3x$，即可得到$120x^{3}y^{3}$；
当$r = 2$时，$T_{3}=2^{5 - 2}C_{5}^{2}x^{5 - 2}y^{2}=80x^{3}y^{2}$，此时只需乘第一个因式$(3x - y)$中的$-y$，即可得到$-80x^{3}y^{3}$。
综上可得，$x^{3}y^{3}$的系数为$120 - 80 = 40$。
故选 B。
当$r = 3$时，$T_{4}=2^{5 - 3}C_{5}^{3}x^{5 - 3}y^{3}=40x^{2}y^{3}$，此时只需乘第一个因式$(3x - y)$中的$3x$，即可得到$120x^{3}y^{3}$；
当$r = 2$时，$T_{3}=2^{5 - 2}C_{5}^{2}x^{5 - 2}y^{2}=80x^{3}y^{2}$，此时只需乘第一个因式$(3x - y)$中的$-y$，即可得到$-80x^{3}y^{3}$。
综上可得，$x^{3}y^{3}$的系数为$120 - 80 = 40$。
故选 B。
8. [河北张家口2024高二期末]$(x^{2} - \frac{2}{x} - 1)^{5}$展开式中$x^{2}$项的系数为 ( )
A. -120
B. -115
C. 5
D. 125
A. -120
B. -115
C. 5
D. 125
答案：
B 【解析】$(x^{2}-\frac{2}{x}-1)^{5}$是 5 个$(x^{2}-\frac{2}{x}-1)$之积，展开后得到$x^{2}$项有两种情况：
①取 1 个$x^{2}$，取 4 个$-1$，得到含有$x^{2}$的项为$C_{5}^{1}x^{2}C_{4}^{4}(-1)^{4}=5x^{2}$。
②取 2 个$x^{2}$，取 2 个$-\frac{2}{x}$，取 1 个$-1$，得到含有$x^{2}$的项为$C_{5}^{2}(x^{2})^{2}C_{3}^{2}(-\frac{2}{x})^{2}C_{1}^{1}(-1)^{1}=-120x^{2}$。
因此$x^{2}$项的系数为$-120 + 5=-115$。
故选 B。
多种解法 $(x^{2}-\frac{2}{x}-1)^{5}=[-1+(x^{2}-\frac{2}{x})]^{5}$，
展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{5}^{k}(-1)^{5 - k}(x^{2}-\frac{2}{x})^{k}(k = 0,1,2,3,4,5)$。
$C_{5}^{k}(-1)^{5 - k}(x^{2}-\frac{2}{x})^{k}$展开式的通项为$T_{r + 1}=C_{k}^{r}C_{5}^{k}(-1)^{5 - k + r}2^{r}x^{2k - 3r}(0\leq r\leq k,r\in N)$。
由$2k - 3r = 2$得$3r = 2(k - 1)$，解得$\begin{cases}k = 1\\r = 0\end{cases}$或$\begin{cases}k = 4\\r = 2\end{cases}$。
因此$x^{2}$的系数为$C_{5}^{1}C_{1}^{0}(-1)^{4}\cdot2^{0}+C_{5}^{4}C_{4}^{2}(-1)^{3}2^{2}=-115$。故选 B。
①取 1 个$x^{2}$，取 4 个$-1$，得到含有$x^{2}$的项为$C_{5}^{1}x^{2}C_{4}^{4}(-1)^{4}=5x^{2}$。
②取 2 个$x^{2}$，取 2 个$-\frac{2}{x}$，取 1 个$-1$，得到含有$x^{2}$的项为$C_{5}^{2}(x^{2})^{2}C_{3}^{2}(-\frac{2}{x})^{2}C_{1}^{1}(-1)^{1}=-120x^{2}$。
因此$x^{2}$项的系数为$-120 + 5=-115$。
故选 B。
多种解法 $(x^{2}-\frac{2}{x}-1)^{5}=[-1+(x^{2}-\frac{2}{x})]^{5}$，
展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{5}^{k}(-1)^{5 - k}(x^{2}-\frac{2}{x})^{k}(k = 0,1,2,3,4,5)$。
$C_{5}^{k}(-1)^{5 - k}(x^{2}-\frac{2}{x})^{k}$展开式的通项为$T_{r + 1}=C_{k}^{r}C_{5}^{k}(-1)^{5 - k + r}2^{r}x^{2k - 3r}(0\leq r\leq k,r\in N)$。
由$2k - 3r = 2$得$3r = 2(k - 1)$，解得$\begin{cases}k = 1\\r = 0\end{cases}$或$\begin{cases}k = 4\\r = 2\end{cases}$。
因此$x^{2}$的系数为$C_{5}^{1}C_{1}^{0}(-1)^{4}\cdot2^{0}+C_{5}^{4}C_{4}^{2}(-1)^{3}2^{2}=-115$。故选 B。
9. [山西部分学校2024高二联考]在$(x - 1)(x - 2) \cdot (x - 3)(x - 4)$的展开式中,x的系数为 ( )
A. -50
B. -35
C. -24
D. -10
A. -50
B. -35
C. -24
D. -10
答案：
A 【解析】$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$的展开式中，含$x$的项是 4 个因式中任取 1 个因式选择$x$，另外 3 个因式中选择常数项相乘得到的项，则$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)$的展开式中，含$x$的项为$(-1)\times(-2)\times(-3)x+(-1)\times(-2)\times(-4)x+(-1)\times(-3)\times(-4)x+(-2)\times(-3)\times(-4)x=-50x$，所以$x$的系数为$-50$。故选 A。
10. 二项式$(x^{6} - \frac{1}{x\sqrt{x}})^{5}$的展开式中为常数项的是 ( )
A. 第3项
B. 第4项
C. 第5项
D. 第6项
A. 第3项
B. 第4项
C. 第5项
D. 第6项
答案：
C 【解析】由二项式定理可得$(x^{6}-\frac{1}{x\sqrt{x}})^{5}$的展开式的通项为$T_{k + 1}=C_{5}^{k}(x^{6})^{5 - k}(-\frac{1}{x\sqrt{x}})^{k}=C_{5}^{k}(-1)^{k}x^{30-\frac{15}{2}k}(k = 0,1,2,3,4,5)$。令$30-\frac{15}{2}k = 0$，得$k = 4$，所以二项式$(x^{6}-\frac{1}{x\sqrt{x}})^{5}$的展开式的第$4 + 1 = 5$（项）为常数项，故选 C。
易错警示 公式$(a + b)^{n}=C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n - 1}b+C_{n}^{2}a^{n - 2}b^{2}+\cdots+C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}+\cdots+C_{n}^{n}b^{n}(n\in N^{*})$中，$C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$是展开式的第$k + 1$项，可记作$T_{k + 1}=C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$（其中$0\leq k\leq n,k\in N,n\in N^{*}$）。
易错警示 公式$(a + b)^{n}=C_{n}^{0}a^{n}+C_{n}^{1}a^{n - 1}b+C_{n}^{2}a^{n - 2}b^{2}+\cdots+C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}+\cdots+C_{n}^{n}b^{n}(n\in N^{*})$中，$C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$是展开式的第$k + 1$项，可记作$T_{k + 1}=C_{n}^{k}a^{n - k}b^{k}$（其中$0\leq k\leq n,k\in N,n\in N^{*}$）。
11. 求$(x^{2} - \frac{1}{x} + 3)^{4}$的展开式中的常数项.
答案：
【解】$(x^{2}-\frac{1}{x}+3)^{4}=[3+(x^{2}-\frac{1}{x})]^{4}$。
通项$T_{r + 1}=C_{4}^{r}\cdot3^{4 - r}\cdot(x^{2}-\frac{1}{x})^{r}=C_{4}^{r}\cdot3^{4 - r}\cdot C_{r}^{k}\cdot(x^{2})^{r - k}\cdot(-\frac{1}{x})^{k}=C_{4}^{r}\cdot3^{4 - r}\cdot C_{r}^{k}\cdot(-1)^{k}\cdot x^{2r - 3k}$，
其中$r\leq4,k\leq r,r\in N,k\in N$。
令$2r - 3k = 0$，则$r = 3,k = 2$或$r = 0,k = 0$。
当$r = 3,k = 2$时，$T_{4}=C_{4}^{3}\times3^{4 - 3}\times C_{3}^{2}\times(-1)^{2}=36$；
当$r = 0,k = 0$时，$T_{1}=C_{4}^{0}\times3^{4}=81$。
所以常数项为$36 + 81 = 117$。
多种解法 $(x^{2}-\frac{1}{x}+3)^{4}$可以看作是 4 个$(x^{2}-\frac{1}{x}+3)$相乘，
常数项可能由下列几种得到：
4 个因式中，1 个取$x^{2}$，2 个取$-\frac{1}{x}$，1 个取 3，
得$C_{4}^{1}x^{2}C_{3}^{2}(-\frac{1}{x})^{2}\times C_{1}^{1}\times3=36$；
4 个因式中，全部取 3，得$C_{4}^{4}\times3^{4}=81$。
合并同类项为$36 + 81 = 117$。
所以常数项为 117。
易错警示 解决三项式问题有三种方法：方法一，反复利用二项式定理，先把三项式中的某两项视为一项，用二项式定理展开，再利用二项展开式求解。方法二，转化为二项式。常见的有两种转化形式：三项式恰好是二项式的平方，则可转化为二项式定理求解；三项式可分解因式，则可转化为两个二项式的积的形式。方法三，利用组合知识，把三项式看成几个项的积，再分析项的构成，注意最后应把各个同类项合并。利用二项式定理求特定项，注意题型的变化。
通项$T_{r + 1}=C_{4}^{r}\cdot3^{4 - r}\cdot(x^{2}-\frac{1}{x})^{r}=C_{4}^{r}\cdot3^{4 - r}\cdot C_{r}^{k}\cdot(x^{2})^{r - k}\cdot(-\frac{1}{x})^{k}=C_{4}^{r}\cdot3^{4 - r}\cdot C_{r}^{k}\cdot(-1)^{k}\cdot x^{2r - 3k}$，
其中$r\leq4,k\leq r,r\in N,k\in N$。
令$2r - 3k = 0$，则$r = 3,k = 2$或$r = 0,k = 0$。
当$r = 3,k = 2$时，$T_{4}=C_{4}^{3}\times3^{4 - 3}\times C_{3}^{2}\times(-1)^{2}=36$；
当$r = 0,k = 0$时，$T_{1}=C_{4}^{0}\times3^{4}=81$。
所以常数项为$36 + 81 = 117$。
多种解法 $(x^{2}-\frac{1}{x}+3)^{4}$可以看作是 4 个$(x^{2}-\frac{1}{x}+3)$相乘，
常数项可能由下列几种得到：
4 个因式中，1 个取$x^{2}$，2 个取$-\frac{1}{x}$，1 个取 3，
得$C_{4}^{1}x^{2}C_{3}^{2}(-\frac{1}{x})^{2}\times C_{1}^{1}\times3=36$；
4 个因式中，全部取 3，得$C_{4}^{4}\times3^{4}=81$。
合并同类项为$36 + 81 = 117$。
所以常数项为 117。
易错警示 解决三项式问题有三种方法：方法一，反复利用二项式定理，先把三项式中的某两项视为一项，用二项式定理展开，再利用二项展开式求解。方法二，转化为二项式。常见的有两种转化形式：三项式恰好是二项式的平方，则可转化为二项式定理求解；三项式可分解因式，则可转化为两个二项式的积的形式。方法三，利用组合知识，把三项式看成几个项的积，再分析项的构成，注意最后应把各个同类项合并。利用二项式定理求特定项，注意题型的变化。
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