《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. 假设电商平台第一次给小李推送某商品时，她购买此商品的概率为$\frac{3}{4}$；从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为$\frac{1}{3}$；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为$\frac{2}{5}$，那么电商平台在第二次推送时小李不购买此商品的概率为 （ ）
A. $\frac{37}{60}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{9}{20}$

答案： A【解析】记第一次推送时小李购买此商品为事件A，第二次推送时小李购买此商品为事件B，则$P(\overline{B}) = P(A\overline{B})+P(\overline{A}\overline{B})=\frac{3}{4}\times\frac{3}{5}+\frac{1}{4}\times\frac{2}{3}=\frac{37}{60}$，故选A。

2. [天津蓟州区2024高二月考]甲袋中有2个红球，2个白球和1个黑球，乙袋中有3个红球，1个白球和1个黑球，除颜色外，球的大小、形状完全相同. 先从甲袋中随机取出1球放入乙袋，再从乙袋中随机取出1球. 分别以$A_1$,$A_2$,$A_3$表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件，以$B$表示由乙袋取出的球是红球的事件，则$P(B|A_1)=$_______，$P(B)=$_______.

答案： $\frac{2}{3}$ $\frac{17}{30}$ 【解析】由题意得，$P(A_1)=\frac{2}{2 + 2+1}=\frac{2}{5}$，$P(A_1B)=\frac{2}{5}\times\frac{3 + 1}{5+1}=\frac{4}{15}$，故$P(B|A_1)=\frac{P(A_1B)}{P(A_1)}=\frac{\frac{4}{15}}{\frac{2}{5}}=\frac{2}{3}$。
又$P(A_2)=\frac{2}{2 + 2+1}=\frac{2}{5}$，$P(A_2B)=\frac{2}{5}\times\frac{3}{5 + 1}=\frac{1}{5}$，$P(A_3)=\frac{1}{2 + 2+1}=\frac{1}{5}$，$P(A_3B)=\frac{1}{5}\times\frac{3}{5 + 1}=\frac{1}{10}$，故$P(B)=P(A_1B)+P(A_2B)+P(A_3B)=\frac{4}{15}+\frac{1}{5}+\frac{1}{10}=\frac{17}{30}$。

3. [辽宁沈阳2024高二期中]某运动队共有12名运动员，其中一级运动员6名、二级运动员4名、三级运动员2名. 现举办奥运选拔赛，假设每名一、二、三级运动员晋级的概率分别为0.75,0.5,0.25.
（1）从这12名运动员中选4人参加奥运选拔赛，已知所选4人中一、二、三级运动员都有人选，求一级运动员人数最多的概率；
（2）从这12名运动员中任选1人参加奥运选拔赛，求其能够晋级的概率.

答案： 【解】
(1)设事件A表示“所选4人中一、二、三级运动员都有入选”，事件B表示“一级运动员人数最多”，则$P(A)=\frac{C_6^1C_4^1C_2^1+C_6^1C_4^2C_2^0+C_6^1C_4^0C_2^2}{C_{12}^4}=\frac{24}{55}$，$P(AB)=\frac{C_6^2C_4^1C_2^1}{C_{12}^4}=\frac{8}{33}$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{8}{33}}{\frac{24}{55}}=\frac{5}{9}$，即已知所选4人中一、二、三级运动员都有入选，一级运动员人数最多的概率为$\frac{5}{9}$。
(2)设事件C表示“这12名运动员中任选1人参加奥运选拔赛能够晋级”，则$P(C)=\frac{6}{12}\times0.75+\frac{4}{12}\times0.5+\frac{2}{12}\times0.25=\frac{7}{12}$。

4. [福建莆田一中2024高二月考]某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假. 该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”，它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”. 已知“AI”视频占有率为0.001，某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性为_______.（用分数表示或者保留三位小数）

答案： 0.024 【解析】记“视频是AI合成”为事件A，记“鉴定结果为AI”为事件B，则$P(A)=0.001$，$P(\overline{A})=0.999$，$P(B|A)=0.98$，$P(B|\overline{A})=0.04$，由贝叶斯公式得$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})}=\frac{0.001\times0.98}{0.001\times0.98 + 0.999\times0.04}\approx0.024$。

5. 设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%. 现从该厂这批产品中任取一件.
（1）求取到次品的概率.
（2）若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少?

答案： 【解】
(1)取到次品的概率为$0.25\times0.05+0.35\times0.04+0.4\times0.02 = 0.0345$。
(2)若取到的是次品，则此次品由甲车间生产的概率为$\frac{0.25\times0.05}{0.0345}=\frac{0.0125}{0.0345}=\frac{25}{69}$，此次品由乙车间生产的概率为$\frac{0.35\times0.04}{0.0345}=\frac{0.014}{0.0345}=\frac{28}{69}$，此次品由丙车间生产的概率为$\frac{0.4\times0.02}{0.0345}=\frac{0.008}{0.0345}=\frac{16}{69}$。

6. [浙江温州部分学校2024高二联考]有3台车床加工同一型号的零件，第1,2,3台车床加工零件的次品率分别为6%，5%，4%，加工出来的零件混放在一起. 已知第1,2,3台车床加工的零件数之比为5∶6∶9，现任取一个零件，求：
（1）它是第1台机床生产的概率是多少?
（2）它是次品的概率是多少?
（3）若取到的这个零件是次品，那么它是哪台机床生产出来的可能性最大？用具体数据说明.

答案： 【解】
(1)由题意第1，2，3台车床加工的零件数之比为5:6:9，现任取一个零件，它是第1台车床生产的概率$P=\frac{5}{5 + 6+9}=\frac{1}{4}$。
(2)记事件$A_i=$“零件为第$i(i = 1,2,3)$台车床加工”，事件$B =$“零件为次品”，则有$P(A_1)=\frac{5}{5 + 6+9}=\frac{1}{4}$，$P(A_2)=\frac{6}{5 + 6+9}=\frac{3}{10}$，$P(A_3)=\frac{9}{5 + 6+9}=\frac{9}{20}$，$P(B|A_1)=6\%$，$P(B|A_2)=5\%$，$P(B|A_3)=4\%$，现任取一个零件，它是次品的概率$P(B)=P(A_1B)+P(A_2B)+P(A_3B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)=\frac{1}{4}\times6\%+\frac{3}{10}\times5\%+\frac{9}{20}\times4\% = 0.048$。
(3)$P(A_1|B)=\frac{P(A_1B)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{4}\times6\%}{0.048}=\frac{5}{16}$，$P(A_2|B)=\frac{P(A_2B)}{P(B)}=\frac{P(B|A_2)P(A_2)}{P(B)}=\frac{\frac{3}{10}\times5\%}{0.048}=\frac{5}{16}$，$P(A_3|B)=\frac{P(A_3B)}{P(B)}=\frac{P(B|A_3)P(A_3)}{P(B)}=\frac{\frac{9}{20}\times4\%}{0.048}=\frac{3}{8}$，因为$\frac{3}{8}＞\frac{5}{16}$，所以若取到的零件是次品，它是第3台机床生产的可能性最大。