《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. 已知A_1,A_2,B为同一样本空间下的三个随机事件,若0＜P(B)＜1,P((A_1 + A_2)|B)=P(A_1|B)+P(A_2|B),则 ( )
A. 事件A_1B,A_2B为对立事件
B. 事件A_1B,A_2B同时发生的概率为0
C. 事件A_1B,A_2B相互独立
D. 事件A_1,A_2,B两两相互独立

答案： B

2. 甲、乙从质地均匀的骰子A,B,C,D中各选一只骰子进行游戏,以掷出点数大者为胜方.已知骰子各个面上标有数字：A(0,0,4,4,4,4),B(3,3,3,3,3,3),C(2,2,2,2,6,6),D(1,1,1,5,5,5). 若甲选择骰子A先掷,则乙选择骰子________,就有更大的把握取胜.

答案： **D** 【解析】记事件“I(I = A, B, C, D)骰子掷出点数i(i = 0, 1, 2, …, 6)”为$I_{i}$，事件“乙选骰子I，且获胜”为“I＞A”。
因为两人掷出的点数相互独立，所以由全概率公式，得
P(B＞A)=P($B_{3}$|$A_{0}$)·P($A_{0}$)=1×$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$，
P(C＞A)=P(($C_{2}$+$C_{6}$)|$A_{0}$)·P($A_{0}$)+P($C_{6}$|$A_{4}$)·P($A_{4}$)=1×$\frac{2}{6}$+$\frac{2}{6}$×$\frac{4}{6}$=$\frac{5}{9}$，
P(D＞A)=P(($D_{1}$+$D_{5}$)|$A_{0}$)·P($A_{0}$)+P($D_{5}$|$A_{4}$)·P($A_{4}$)=1×$\frac{2}{6}$+$\frac{3}{6}$×$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，
故由$\frac{1}{3}$＜$\frac{5}{9}$＜$\frac{2}{3}$知，乙选择骰子D获胜的可能性最大。

3. 某重点高中的高一和高二年级都有1 600名学生,高三年级有1 800名学生,现在要对学生的视力情况展开调查,计划利用分层随机抽样的方法从这三个年级中共抽取100名学生进行视力检测.
(1)这三个年级分别抽取了多少名学生?
(2)若在抽取的100名学生中,发现重度近视的学生占20%,中度近视的学生占30%,利用分层随机抽样的方法,从重度和中度近视的学生中抽取5人,在这5人当中,再随机抽取2名学生参加关于保护视力的讲座,记ξ为抽到的2名学生中重度近视的学生人数,求ξ的分布列和均值.

答案： 【解】
(1)由题意可得，这三个年级的总人数为1600 + 1600 + 1800 = 5000，
所以每个学生被抽取的概率为$\frac{100}{5000}$=$\frac{1}{50}$。
故高一、高二、高三年级被抽取的人数分别为1600×$\frac{1}{50}$=32，1600×$\frac{1}{50}$=32，1800×$\frac{1}{50}$=36。
所以高一、高二、高三年级分别抽取32，32，36名学生。
(2)由题意可知，抽取的5名学生中，2名学生重度近视，3名学生中度近视，则ξ的所有可能取值为0，1，2.
所以P(ξ = 0)=$\frac{C_{3}^{2}}{C_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，P(ξ = 1)=$\frac{C_{2}^{1}C_{3}^{1}}{C_{5}^{2}}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，P(ξ = 2)=$\frac{C_{2}^{2}C_{3}^{0}}{C_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
则ξ的分布列为
| ξ | 0 | 1 | 2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| P | $\frac{3}{10}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{10}$ |
则E(ξ)=0×$\frac{3}{10}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$。
巧思：可根据超几何分布H(N, n, M)的均值公式E(X)=$\frac{nM}{N}$进行检验

4. 双胞胎分为“同卵双生”与“异卵双生”两类,前者由一个受精卵分裂成两个发育而成,后者由两个不同的受精卵发育而成,“同卵”双胞胎有相同的基因,“异卵”双胞胎的基因部分相同.一位人口学家想知道双胞胎中“同卵双生”所占的比例,可以通过为每对双胞胎进行基因检测来实现,但需要一定的费用,且应符合科学研究伦理,征得父母的同意.根据你所学过的知识,为这位人口学家提供一个不进行基因检测,就能估计出“同卵”双胞胎所占比例的方法.

答案： 【解】由生物学知识，“同卵”双胞胎有相同的基因，因而性别一定相同，但“异卵”双胞胎的基因只有部分相同，其性别具有随机性，由古典概型概率公式知，其同性别的概率p=$\frac{2×1}{2×2}$=$\frac{1}{2}$。
设“出生的双胞胎同性别”为事件A，“出生的双胞胎是同卵双生”为事件B，双胞胎中同性别双胞胎所占比例为x，则由全概率公式得，P(A)=P(A|B)·P(B)+P(A|$\overline{B}$)·P($\overline{B}$)，又B⊆A，故P(A|B)=1，x = P(B)+[1 - P(B)]×$\frac{1}{2}$，解得P(B)=2x - 1，因此，要估计双胞胎中“同卵双生”所占的比例，则人口学家只需向全国各医院了解同一年内出生同性别双胞胎数量m与出生的双胞胎总数n，由x=$\frac{m}{n}$估计出“同卵”双胞胎所占的比例。