《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

9. 教材变式 [四川南充2024高二期末]随机变量$\xi$的分布列如表所示，且$m + 2n = 1.2$，则$n =$（ ）

A. -0.2
B. 0.4
C. 0.2
D. 0.5

答案： B【解析】依题意可得$\begin{cases}m + 2n = 1.2\\m + n+0.1 + 0.1 = 1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = 0.4\\n = 0.4\end{cases}$。故选B。【链接教材】此题由教材第91页第4题改编而来，分布列具有两个性质：
(1)$p_{i}\geq0(i = 1,2,\cdots,n)$；
(2)$p_{1}+p_{2}+\cdots + p_{n}=1$。这两条性质中，一方面可以利用概率和为1列方程求出分布列中某些参数，另一方面可以检验分布列是否正确，但要注意概率之和为1是分布列正确的必要不充分条件。

10. 已知随机变量$X$只能取$x_{1},x_{2},x_{3}$三个值，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是 （ ）
A. $\left[0,\frac{1}{3}\right]$
B. $\left[-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right]$
C. $[-3,3]$
D. $[0,1]$

答案： B【解析】设随机变量X取$x_{1},x_{2},x_{3}$的概率分别为$a - d,a,a + d$，则$(a - d)+a+(a + d)=1$，解得$a=\frac{1}{3}$。由$\begin{cases}0\leq\frac{1}{3}-d\leq1\\0\leq\frac{1}{3}+d\leq1\end{cases}$，解得$-\frac{1}{3}\leq d\leq\frac{1}{3}$。故选B。

11. [河北石家庄正中实验中学2024高二期中]已知随机变量$X$的分布列为$P(X = n)=\frac{a}{(n + 1)(n + 2)}(n = 0,1,2)$，其中$a$是常数，则下列说法不正确的是 （ ）
A. $P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)=1$
B. $a=\frac{4}{3}$
C. $P(0\leq X\lt2)=\frac{8}{9}$
D. $P(X\geq1)=\frac{4}{9}$

答案： D【解析】由$P(X = n)=\frac{a}{(n + 1)(n + 2)}(n = 0,1,2)$，得$P(X = 0)+P(X = 1)+P(X = 2)=1$，即$\frac{a}{2}+\frac{a}{6}+\frac{a}{12}=1$，解得$a=\frac{4}{3}$，故A，B正确；$P(0\leq X\lt2)=P(X = 0)+P(X = 1)=\frac{2}{3}+\frac{2}{9}=\frac{8}{9}$，故C正确；$P(X\geq1)=P(X = 1)+P(X = 2)=\frac{2}{9}+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}$，故D错误。故选D。【规律方法】求解本题的关键是利用离散型随机变量分布列的性质：离散型随机变量的所有取值的概率和为1。

12. 甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其他均相同，从这三个盒中各取一球.
（1）求“三球中至少有一个为白球”的概率；
（2）设$\xi$表示所取白球的个数，求$\xi$的分布列.

答案： 【解】
(1)记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为A，B，C，记三球中至少有一球为白球为事件M，则$P(A)=\frac{1}{2},P(B)=\frac{1}{3},P(C)=\frac{1}{3}$。$P(M)=1 - P(\overline{A}\overline{B}\overline{C})=1-(1-\frac{1}{2})\times(1-\frac{1}{3})\times(1-\frac{1}{3})=\frac{7}{9}$。
(2)由题意可知，随机变量$\xi$的可能取值为0，1，2，3。$P(\xi = 0)=(1-\frac{1}{2})\times(1-\frac{1}{3})^{2}=\frac{2}{9}$，$P(\xi = 1)=P(A\overline{B}\overline{C}+\overline{A}B\overline{C}+\overline{A}\overline{B}C)=\frac{1}{2}\times(1-\frac{1}{3})^{2}+2\times(1-\frac{1}{2})\times\frac{1}{3}\times(1-\frac{1}{3})=\frac{4}{9}$，$P(\xi = 2)=P(AB\overline{C}+A\overline{B}C+\overline{A}BC)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}\times(1-\frac{1}{3})+\frac{1}{2}\times(1-\frac{1}{3})\times\frac{1}{3}+(1-\frac{1}{2})\times\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}=\frac{5}{18}$，$P(\xi = 3)=\frac{1}{2}\times(\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{18}$。所以随机变量$\xi$的分布列为：
|$\xi$|0|1|2|3|
|----|----|----|----|----|
|P|$\frac{2}{9}$|$\frac{4}{9}$|$\frac{5}{18}$|$\frac{1}{18}$|
【规律方法】求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)找出随机变量X可能的取值$x_{i}(i = 1,2,3,\cdots,n)$；
(2)求出相应的概率$P(X = x_{i})=p_{i}(i = 1,2,3,\cdots,n)$；
(3)列成表格形式。

13. [重庆渝北中学2023高二质量监测]现有10件分别来自甲、乙、丙三个车间的某批产品，其中甲车间有5件，乙车间有3件，丙车间有2件，从这10件产品中任选3件参加展出.
（1）求选出的3件产品来自同一车间的概率；
（2）设随机变量$X$表示选取的产品是来自乙车间的件数，求$X$的分布列.

答案： 【解】
(1)依题意，从这10件产品中任选3件的不同取法数为$C_{10}^{3}$，3件产品来自同一车间的取法数有$C_{5}^{3}+C_{3}^{3}$，所以选出的3件产品来自同一车间的概率$P=\frac{C_{5}^{3}+C_{3}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{11}{120}$。
(2)依题意，X的所有可能值为0，1，2，3，$P(X = 0)=\frac{C_{7}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{35}{120}=\frac{7}{24}$，$P(X = 1)=\frac{C_{7}^{2}C_{3}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{63}{120}=\frac{21}{40}$，$P(X = 2)=\frac{C_{7}^{1}C_{3}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{21}{120}=\frac{7}{40}$，$P(X = 3)=\frac{C_{3}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{120}$。所以X的分布列为：
|X|0|1|2|3|
|----|----|----|----|----|
|P|$\frac{7}{24}$|$\frac{21}{40}$|$\frac{7}{40}$|$\frac{1}{120}$|

14. [河北秦皇岛2024高二月考]设离散型随机变量$X$的分布列为

（1）求$\eta = |X - 1|$的分布列；
（2）求$P(1\lt2X + 1\lt9)$的值.

答案： 【解】
(1)由$0.2 + 0.1+0.1 + 0.3+m = 1$，得$m = 0.3$。$\eta$的可能取值为0，1，2，3，$P(\eta = 0)=P(X = 1)=0.1$，$P(\eta = 1)=P(X = 0)+P(X = 2)=0.2 + 0.1 = 0.3$，$P(\eta = 2)=P(X = 3)=0.3$，$P(\eta = 3)=P(X = 4)=0.3$，故$\eta$的分布列如下表所示。
|$\eta$|0|1|2|3|
|----|----|----|----|----|
|P|0.1|0.3|0.3|0.3|
(2)由$1\lt2X + 1\lt9$，可得$0\lt X\lt4$，故$P(1\lt2X + 1\lt9)=P(X = 1)+P(X = 2)+P(X = 3)=0.1 + 0.1+0.3 = 0.5$。