《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

12. 为了解高二学生体育健康情况，学校组织了一次体育健康测试，成绩$X$近似服从正态分布$N(70,7^{2})$，已知成绩在77分及77分以上的学生有208人，若成绩大于等于84分为优秀，则本次体育健康测试成绩优秀的大约有______人.
（参考数据：$P(\mu - \sigma＜X＜\mu + \sigma)\approx0.68$，$P(\mu - 2\sigma＜X＜\mu + 2\sigma)\approx0.96$）

答案： 26

13. [吉林长春东北师大附中2024高二月考]某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分.甲答对每道笔试题的概率为$\frac{2}{3}$，答对每道面试题的概率为$\frac{1}{2}$，且每道题答对与否互不影响，则甲得______分的概率最大.

答案：

112

14. [广西钦州2023高二月考]某商圈为了吸引顾客举办了一次有奖竞猜活动，活动规则如下：两人一组，在一轮竞猜活动中每人两次竞猜机会，若两人猜对的次数之和不少于三次就可以获得一张奖券.小蓝和她的妈妈在同一小组，小蓝和她妈妈猜中的概率分别为$p_1$,$p_2$，两人是否猜中相互独立.若$p_1 + p_2=\frac{3}{2}$，则当小蓝和她妈妈获得一张奖券的概率最大时，$p_1^{2}+p_2^{2}$的值为______.

答案： $\frac{5}{4}$

15. （本小题满分13分）[江苏连云港2023高二阶段检测]甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，丙袋中有4个白球和4个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先随机取1个球不放回，接着再从该袋中取1个球.
（1）求第一次取出的球为红球的概率；
（2）求在第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率.

答案： 15.【解】（1）设第一次取出的球为红球为事件$A$，取到甲袋、乙袋、丙袋分别为事件$B_{1}$，$B_{2}$，$B_{3}$，则$P(B_{1})=P(B_{2})=P(B_{3})=\frac{1}{3}$。由全概率公式可得$P(A)=P(A\mid B_{1})P(B_{1})+P(A\mid B_{2})\cdot P(B_{2})+P(A\mid B_{3})P(B_{3})=\frac{2}{5}\times\frac{1}{3}+\frac{3}{5}\times\frac{1}{3}+\frac{4}{8}\times\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$。
（2）设第二次取出的球是白球为事件$C$，由全概率公式可得$P(AC)=P(AC\mid B_{1})P(B_{1})+P(AC\mid B_{2})\cdot P(B_{2})+P(AC\mid B_{3})P(B_{3})=\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{3}+\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}\times\frac{1}{3}+\frac{4}{8}\times\frac{4}{7}\times\frac{1}{3}=\frac{31}{105}$，所以$P(C\mid A)=\frac{P(AC)}{P(A)}=\frac{\frac{31}{105}}{\frac{1}{2}}=\frac{62}{105}$。

16. （本小题满分15分）[黑龙江哈尔滨九中2023高二月考]某校举行知识竞赛，最后一个名额要在$A$,$B$两名同学中产生，测试方案如下：$A$,$B$两名同学各自从给定的4个问题中随机抽取3个问题作答，在这4个问题中，已知$A$能正确作答其中的3个，$B$能正确作答每个问题的概率都是$\frac{3}{4}$，$A$,$B$两名同学作答问题相互独立.
（1）设$A$答对的题数为$X$，求$X$的分布列；
（2）设$B$答对的题数为$Y$，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名同学，并说明理由.

答案：

16.【解】（1）$A$答对的题数为$X$，则$X$的可能取值为2，3，且$P(X = 2)=\frac{C_{3}^{2}C_{1}^{1}}{C_{4}^{3}}=\frac{3}{4}$，$P(X = 3)=\frac{C_{3}^{3}}{C_{4}^{3}}=\frac{1}{4}$，则$X$的分布列为：

|$X$|2|3|

| ---- | ---- | ---- |

|$P$|$\frac{3}{4}$|$\frac{1}{4}$|

（2）$B$答对的题数为$Y$，则$Y\sim B(3,\frac{3}{4})$，$P(Y = 0)=(\frac{1}{4})^{3}=\frac{1}{64}$，$P(Y = 1)=C_{3}^{1}(\frac{1}{4})^{2}(\frac{3}{4})^{1}=\frac{9}{64}$，$P(Y = 2)=C_{3}^{2}(\frac{1}{4})^{1}(\frac{3}{4})^{2}=\frac{27}{64}$，$P(Y = 3)=(\frac{3}{4})^{3}=\frac{27}{64}$。由（1）知：$E(X)=2\times\frac{3}{4}+3\times\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，$D(X)=(2 - \frac{9}{4})^{2}\times\frac{3}{4}+(3 - \frac{9}{4})^{2}\times\frac{1}{4}=\frac{3}{16}$，而$E(Y)=3\times\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$，$D(Y)=3\times\frac{3}{4}\times(1 - \frac{3}{4})=\frac{9}{16}$，所以$E(X)=E(Y)$，$D(X)＜D(Y)$，故选择$A$为参赛选手。

17. （本小题满分15分）[辽宁大连育明高级中学2024高二期末]某校为了提高教师身心健康，号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师、2名女教师报名，本周随机选取2人参加.
（1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；
（2）记参加活动的女教师人数为$X$，求$X$的分布列及期望$E(X)$；
（3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为$\frac{1}{2}$，每名男教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为$\frac{1}{2}$，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为$Y$，求$Y$的期望$E(Y)$.

答案：

17.【解】（1）设“有女教师参加活动”为事件$A$，“恰有一名女教师参加活动”为事件$B$，则$P(AB)=\frac{C_{4}^{1}C_{2}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{8}{15}$，$P(A)=\frac{C_{4}^{1}C_{2}^{1}+C_{2}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{3}{5}$，所以$P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{\frac{8}{15}}{\frac{3}{5}}=\frac{8}{9}$。

（2）依题意知$X$服从超几何分布，且$X$的所有可能取值为0，1，2。$P(X = 0)=\frac{C_{4}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{2}{5}$，$P(X = 1)=\frac{C_{4}^{1}C_{2}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{8}{15}$，$P(X = 2)=\frac{C_{2}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{15}$，所以$X$的分布列为：

|$X$|0|1|2|

| ---- | ---- | ---- | ---- |

|$P$|$\frac{2}{5}$|$\frac{8}{15}$|$\frac{1}{15}$|

$E(X)=0\times\frac{2}{5}+1\times\frac{8}{15}+2\times\frac{1}{15}=\frac{2}{3}$。

（3）设一名女教师参加活动可获得分数为$X_{1}$，一名男教师参加活动可获得分数为$X_{2}$，则$X_{1}$的所有可能取值为3，6，$X_{2}$的所有可能取值为6，9，$P(X_{1}=3)=P(X_{1}=6)=\frac{1}{2}$，$E(X_{1})=3\times\frac{1}{2}+6\times\frac{1}{2}=\frac{9}{2}$，$P(X_{2}=6)=P(X_{2}=9)=\frac{1}{2}$，$E(X_{2})=6\times\frac{1}{2}+9\times\frac{1}{2}=\frac{15}{2}$，有$X$名女教师参加活动，则男教师有$2 - X$名参加活动，$Y=\frac{9}{2}X+\frac{15}{2}(2 - X)=15 - 3X$，所以$E(Y)=E(15 - 3X)=15 - 3E(X)=15 - 3\times\frac{2}{3}=13$，即两个教师得分之和的期望为13分。

18. （本小题满分17分）[江苏徐州七中2024高二期中]我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为$X$（单位：nm）.
（1）现有旧设备生产的零件共8个，其中直径大于10 nm的有4个.现从这8个零件中随机抽取3个.记$\xi$表示取出的零件中直径大于10 nm的零件的个数，求$\xi$的分布列及数学期望$E(\xi)$.
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为$\frac{3}{4}$，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数$\eta$超过半数，则可认为技术攻坚成功，求技术攻坚成功的概率及$\eta$的方差.
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径$X\sim N(9,0.04)$，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4 nm的概率.
参考数据：若$X\sim N(\mu,\sigma ^{2})$，则$P(\mu - \sigma\leq X\leq\mu + \sigma)\approx0.6827$，$P(\mu - 2\sigma\leq X\leq\mu + 2\sigma)\approx0.9545$，$P(\mu - 3\sigma\leq X\leq\mu + 3\sigma)\approx0.9973$，$0.97725^{10}\approx0.7944$，$0.9545^{10}\approx0.6277$.

答案：

18.【解】（1）由题意，可知$\xi$可取0，1，2，3，$P(\xi = 0)=\frac{C_{4}^{0}C_{4}^{3}}{C_{8}^{3}}=\frac{1}{14}$，$P(\xi = 1)=\frac{C_{4}^{1}C_{4}^{2}}{C_{8}^{3}}=\frac{3}{7}$，$P(\xi = 2)=\frac{C_{4}^{2}C_{4}^{1}}{C_{8}^{3}}=\frac{3}{7}$，$P(\xi = 3)=\frac{C_{4}^{3}C_{4}^{0}}{C_{8}^{3}}=\frac{1}{14}$，所以$\xi$的分布列为：

|$\xi$|0|1|2|3|

| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |

|$P$|$\frac{1}{14}$|$\frac{3}{7}$|$\frac{3}{7}$|$\frac{1}{14}$|

从而$\xi$的数学期望$E(\xi)=0\times\frac{1}{14}+1\times\frac{3}{7}+2\times\frac{3}{7}+3\times\frac{1}{14}=\frac{3}{2}$。

（2）$\eta$可取的值为0，1，2，3，4，5，6，显然$\eta\sim B(6,\frac{3}{4})$，$P(\eta = 4)=C_{6}^{4}(\frac{3}{4})^{4}(\frac{1}{4})^{2}=\frac{1215}{4096}$，$P(\eta = 5)=C_{6}^{5}(\frac{3}{4})^{5}(\frac{1}{4})^{1}=\frac{729}{2048}$，$P(\eta = 6)=(\frac{3}{4})^{6}=\frac{729}{4096}$。所以技术攻坚成功的概率$P(\eta\geqslant4)=P(\eta = 4)+P(\eta = 5)+P(\eta = 6)=\frac{1701}{2048}$，所以$\eta$的方差$D(\eta)=6\times\frac{3}{4}\times(1 - \frac{3}{4})=\frac{9}{8}$。根据二项分布$B(n,p)$的方差公式$D(X)=np(1 - p)$计算。

（3）由$X\sim N(9,0.04)$，得$\sigma = 0.2$，注意$N(9,0.04)$中$0.04$是$\sigma^{2}$，不是$\sigma$。$P(\mu - 2\sigma\leqslant X\leqslant\mu + 2\sigma)\approx0.9545$，得$P(8.6 ＜ X ＜ 9.4)\approx0.9545$，则$P(9 ＜ X ＜ 9.4)=\frac{1}{2}P(8.6 ＜ X ＜ 9.4)\approx0.47725$，于是$P(X\geqslant9.4)=\frac{1}{2}-P(9 ＜ X ＜ 9.4)\approx0.02275$，则$P(X\leqslant9.4)=1 - P(X\geqslant9.4)\approx0.97725$。记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件$A$，则$P(A)=1 - P(\overline{A})\approx1 - 0.97725^{10}\approx1 - 0.7944 = 0.2056$。所以至少有一个零件直径大于9.4nm的概率为0.2056。

19. （本小题满分17分）[湖南长沙雅礼中学2023高二月考]甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为$\alpha$，乙获胜的概率为$\beta$，两人平局的概率为$\gamma$（$\alpha+\beta+\gamma = 1$，$\alpha＞0$，$\beta＞0$，$\gamma\geq0$），且每局比赛结果相互独立.
（1）若$\alpha=\frac{2}{5}$，$\beta=\frac{2}{5}$，$\gamma=\frac{1}{5}$，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率.
（2）当$\gamma = 0$时，
①若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数$X$的分布列及均值$E(X)$的最大值；
②若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用$\alpha$,$\beta$表示），无需写出过程.

答案：

19.【解】（1）用事件$A$，$B$，$C$分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”“平局”，则$P(A)=\alpha=\frac{2}{5}$，$P(B)=\beta=\frac{2}{5}$，$P(C)=\gamma=\frac{1}{5}$。记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件$N$，则事件$N$包括事件$ABAA$，$BAAA$，$ACCA$，$CACA$，$CCAA$，共5种，所以$P(N)=P(ABAA)+P(BAAA)+P(ACCA)+P(CACA)+P(CCAA)=2P(B)P(A)P(A)P(A)+3P(C)P(C)\cdot P(A)P(A)=2\times(\frac{2}{5})^{4}+3\times(\frac{1}{5})^{2}\times(\frac{2}{5})^{2}=\frac{44}{625}$。

（2）①因为$\gamma = 0$，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即$\alpha+\beta = 1$。由题意得$X$的所有可能取值为2，4，5，则$P(X = 2)=\alpha^{2}+\beta^{2}$，$P(X = 4)=(\alpha\beta+\beta\alpha)\alpha^{2}+(\alpha\beta+\beta\alpha)\beta^{2}=2\alpha\beta(\alpha^{2}+\beta^{2})$，$P(X = 5)=(\alpha\beta+\beta\alpha)\cdot(\alpha\beta+\beta\alpha)\cdot1 = 4\alpha^{2}\beta^{2}$。所以$X$的分布列为：

|$X$|2|4|5|

| ---- | ---- | ---- | ---- |

|$P$|$\alpha^{2}+\beta^{2}$|$2\alpha\beta(\alpha^{2}+\beta^{2})$|$4\alpha^{2}\beta^{2}$|

所以$X$的均值$E(X)=2(\alpha^{2}+\beta^{2})+8\alpha\beta(\alpha^{2}+\beta^{2})+20\alpha^{2}\beta^{2}=2(1 - 2\alpha\beta)+8\alpha\beta(1 - 2\alpha\beta)+20\alpha^{2}\beta^{2}=4\alpha^{2}\beta^{2}+4\alpha\beta + 2$。因为$\alpha+\beta = 1\geqslant2\sqrt{\alpha\beta}$，所以$\alpha\beta\leqslant\frac{1}{4}$，当且仅当$\alpha=\beta=\frac{1}{2}$时，等号成立，所以$\alpha\beta\in(0,\frac{1}{4}]$。所以$E(X)=4\alpha^{2}\beta^{2}+4\alpha\beta + 2=(2\alpha\beta + 1)^{2}+1\leqslant(2\times\frac{1}{4}+1)^{2}+1=\frac{13}{4}$。故$E(X)$的最大值为$\frac{13}{4}$。

②记“甲学员赢得比赛”为事件$M$，则$P(M)=\frac{\alpha^{2}}{1 - 2\alpha\beta}=\frac{\alpha^{2}}{\alpha^{2}+\beta^{2}}$。证明：由（1）得前两局比赛结果可能有$AA$，$BB$，$AB$，$BA$，其中事件$AA$表示“甲学员赢得比赛”，事件$BB$表示“乙学员赢得比赛”，事件$AB$，$BA$表示“甲、乙两名学员各得1分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同。所以$P(M)=P(AA)\cdot1+P(BB)\cdot0+P(AB)\cdot P(M)+P(BA)\cdot P(M)=P(A)P(A)+P(A)P(B)P(M)+P(B)P(A)P(M)=\alpha^{2}+\alpha\beta P(M)+\beta\alpha P(M)=\alpha^{2}+2\alpha\beta P(M)$，所以$(1 - 2\alpha\beta)P(M)=\alpha^{2}$，即$P(M)=\frac{\alpha^{2}}{1 - 2\alpha\beta}$。因为$\alpha+\beta = 1$，所以$P(M)=\frac{\alpha^{2}}{(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta}=\frac{\alpha^{2}}{\alpha^{2}+2\alpha\beta+\beta^{2}-2\alpha\beta}=\frac{\alpha^{2}}{\alpha^{2}+\beta^{2}}$。