《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1.（多选）[江西吉安2023高二期中]一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），从中任取4张，则随机变量可能为 （ ）
A. 所取牌数
B. 所取正牌和大王的总数
C. 这副牌中的正牌数
D. 取出的副牌的张数

答案： BD【解析】对于A，所取牌数为4，是一个常数，不是随机变量，所以A错误；对于B，4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3，4，所以是随机变量，所以B正确；对于C，这副牌中正牌数为52，是一个常数，不是随机变量，所以C错误；对于D，4张牌中所取出的副牌的张数可能为0，1，2，所以是随机变量，所以D正确。故选BD。

2.（多选）下列变量是随机变量的是 （ ）
A. 在某次数学期中考试中，一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数
B. 一台机器在一段时间内出现故障的次数
C. 某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数
D. 方程$x^{2}-2x - 3 = 0$的实根个数

答案： ABC【解析】随机变量的定义为在一个随机试验中，其结果有多种可能，选项ABC都符合随机变量的定义，故A，B，C正确；方程$x^{2}-2x - 3 = 0$的实根个数是2，是确定的，不是随机变量，故D错误。故选ABC。

3.（多选）如果$X$是一个随机变量，则下列命题中的真命题有 （ ）
A. $X$取每一个可能值的概率都是非负数
B. $X$取所有可能值的概率之和是1
C. $X$的取值与自然数一一对应
D. $X$的取值是实数

答案： ABD【解析】根据概率的性质可得X取每一个可能值的概率都是非负数，所以A是真命题；X取所有可能值的概率之和是1，所以B是真命题；X的取值是实数，不一定是自然数，所以C是假命题，D是真命题。故选ABD。

4.（多选）下面是离散型随机变量的是 （ ）
A. 某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为$X$
B. 某人射击2次，击中目标的环数之和记为$X$
C. 测量一批电阻，在$950\ \Omega\sim1200\ \Omega$范围内的阻值记为$X$
D. 一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为$X$

答案： AB【解析】A，B中的随机变量的取值是整数值，是可以列举的，是离散型随机变量，C，D中的随机变量的取值是连续的实数值，是不能一一列举的，不是离散型随机变量。故选AB。

5. [福建福州七校2024高二期中联考]下列叙述中，是离散型随机变量的是 （ ）
A. 某电子元件的寿命
B. 高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数
C. 某人早晨在车站等出租车的时间
D. 测量某零件的长度产生的测量误差

答案： B【解析】对于A，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量，A错误；对于B，一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量，B正确；对于C，等出租车的时间无法一一列举出来，不是离散型随机变量，C错误；对于D，测量误差不能一一列举出来，不是离散型随机变量，D错误。故选B。

6. [江苏常州2024高二期中]在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分$\xi$的所有可能取值的和是 （ ）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 14

答案： C【解析】选手甲在三次中距离投篮中都不中得0分，中一次得2分，中两次得4分，中三次得6分，故总得分$\xi$的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分$\xi$的所有可能取值的和为12。故选C。

7. [陕西西安2024高二段考]甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局. 用$\xi$表示甲的得分，则$\{\xi = 3\}$表示 （ ）
A. 甲赢三局
B. 甲赢一局输两局
C. 甲、乙平局两次
D. 甲赢一局输两局或甲、乙平局三次

答案： D【解析】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以$\{\xi = 3\}$表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次。故选D。

8. 教材变式 写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
（1）某市医院明天接到120急救电话的次数$X$；
（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数$X$.

答案： 【解】
(1)随机变量X的可能取值为0，1，2，…。$\{X = i\}(i = 0,1,2,\cdots)$表示某市医院明天接到i次120急救电话。
(2)随机变量X的可能取值为0，1，2，3。$\{X = 0\}$表示“取出0个白球3个黑球”；$\{X = 1\}$表示“取出1个白球2个黑球”；$\{X = 2\}$表示“取出2个白球1个黑球”；$\{X = 3\}$表示“取出3个白球0个黑球”。【链接教材】本题与教材第60页第2题类似，注意不要漏掉某些试验结果。