《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

6. [安徽六安一中2024模拟]某主播带领7位助播参与某项直播活动,其中男性5人,女性3人,现需排班晚8:00黄金档,随机抽取两人,则男生人数的期望为（ ）
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{5}{4}$
D. $\frac{4}{3}$

答案： **C** 【解析】设随机抽取的两人中男生人数为X，则X = 0，1，2，则 $P(X = 0)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{8}^{2}}=\frac{3}{28}$， $P(X = 1)=\frac{C_{3}^{1}C_{5}^{1}}{C_{8}^{2}}=\frac{15}{28}$， $P(X = 2)=\frac{C_{5}^{2}}{C_{8}^{2}}=\frac{5}{14}$，则 $E(X)=0\times\frac{3}{28}+1\times\frac{15}{28}+2\times\frac{5}{14}=\frac{5}{4}$. 故选C.
**多种解法** 由题可知， $X\sim H(8,2,5)$，故 $E(X)=2\times\frac{5}{8}=\frac{5}{4}$. 故选C.

7. (多选)[河北张家口2023高二阶段测试]一袋中有8个大小相同的球,其中5个黑球,3个白球,现从中任取3个球,记随机变量X为其中白球的个数,随机变量Y为其中黑球的个数.若取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分,随机变量Z为取出3个球的总得分,则下列结论中正确的是（ ）
A. $P(|Z - 5|\leq1)=\frac{15}{24}$
B. $E(X)\lt E(Y)$
C. $D(X)=D(Y)$
D. $E(Z)=\frac{33}{8}$

答案： **BCD** 【解析】由题知，随机变量X，Y均服从超几何分布，且X + Y = 3，Z = 2X + Y = 3 + X， $P(X = k)=\frac{C_{3}^{k}\cdot C_{5}^{3 - k}}{C_{8}^{3}}$，k = 0，1，2，3.
选项A， $P(|Z - 5|\leq1)=P(|X - 2|\leq1)=1 - P(X = 0)=1-\frac{C_{5}^{3}}{C_{8}^{3}}=\frac{23}{28}$，A错误；
选项B， $E(X)=3\times\frac{3}{8}=\frac{9}{8}$， $E(Y)=3 - E(X)=\frac{15}{8}$， $E(X)\lt E(Y)$，B正确；
选项C， $D(Y)=D(3 - X)=D(X)$，C正确；
选项D， $E(Z)=3 + E(X)=3+\frac{9}{8}=\frac{33}{8}$，D正确. 故选BCD.

8. [江苏泰州2024高二期末]已知20道试题中有8道选择题,甲无放回地依次从中抽取5道题,乙有放回地依次从中抽取5道题,甲、乙每次均抽取一道试题,抽出的5道题中选择题的题数分别为$\xi_{1},\xi_{2}$,且$\xi_{1},\xi_{2}$的期望分别为$E(\xi_{1}),E(\xi_{2})$,方差分别为$D(\xi_{1}),D(\xi_{2})$,则（ ）
A. $E(\xi_{1})=E(\xi_{2}),D(\xi_{1})\lt D(\xi_{2})$
B. $E(\xi_{1})=E(\xi_{2}),D(\xi_{1})\gt D(\xi_{2})$
C. $E(\xi_{1})\lt E(\xi_{2}),D(\xi_{1})\lt D(\xi_{2})$
D. $E(\xi_{1})\lt E(\xi_{2}),D(\xi_{1})\gt D(\xi_{2})$

答案： **A** 【解析】由题意可知，$\xi_{1}$的可能取值为0，1，2，3，4，5，$\xi_{2}$的可能取值为0，1，2，3，4，5，随机变量$\xi_{1}$服从超几何分布，随机变量$\xi_{2}$服从二项分布，根据超几何分布的均值、方差公式得n = 5，N = 20，M = 8，即 $E(\xi_{1})=\frac{nM}{N}=\frac{5\times8}{20}=2$， $D(\xi_{1})=\frac{nM}{N}(1 - \frac{M}{N})\frac{N - n}{N - 1}=\frac{5\times8}{20}\times(1 - \frac{8}{20})\times\frac{20 - 5}{20 - 1}=2\times\frac{3}{5}\times\frac{15}{19}=\frac{18}{19}$. 根据二项分布的均值、方差公式得n = 5， $p=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$，即 $E(\xi_{2})=np = 5\times\frac{2}{5}=2$， $D(\xi_{2})=np(1 - p)=5\times\frac{2}{5}\times\frac{3}{5}=\frac{6}{5}$，所以 $E(\xi_{1})=E(\xi_{2})$， $D(\xi_{1})\lt D(\xi_{2})$. 故选A.
**二级结论** 若随机变量 $X\sim H(N,n,M)$，则 $E(X)=\frac{nM}{N}$， $D(X)=\frac{nM(N - M)(N - n)}{N^{2}(N - 1)}=E(X)\cdot\frac{(N - M)(N - n)}{N(N - 1)}$.

9. 一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个(白球不少于2个且不多于5个),从中任取2个球,已知取到白球个数的数学期望为$\frac{6}{7}$,则口袋中白球的个数为_______.

答案： 【解析】设口袋中有白球x(2≤x≤5)个，由已知可得，取得白球个数X的所有可能取值为0，1，2，则X服从超几何分布， $P(X = k)=\frac{C_{x}^{k}C_{7 - x}^{2 - k}}{C_{7}^{2}}(k = 0,1,2)$，$\therefore P(X = 0)=\frac{C_{7 - x}^{2}}{C_{7}^{2}}$， $P(X = 1)=\frac{C_{x}^{1}C_{7 - x}^{1}}{C_{7}^{2}}$， $P(X = 2)=\frac{C_{x}^{2}}{C_{7}^{2}}$，$\therefore E(X)=\frac{C_{x}^{1}C_{7 - x}^{1}}{C_{7}^{2}}+\frac{2C_{x}^{2}}{C_{7}^{2}}=\frac{6}{7}$，$\therefore x(7 - x)+x(x - 1)=18$，解得x = 3.

10. [河北承德2024高二联考]某学校参加某项竞赛仅有一个名额,结合平时训练成绩,甲、乙两名学生进入最后选拔,学校为此设计了如下选拔方案:设计6道题进行测试,若这6道题中,甲能正确解答其中的4道,乙能正确解答每个题目的概率均为$\frac{2}{3}$,假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响,现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答:
(1)求甲、乙共答对2道题目的概率.
(2)设甲答对题数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差.
(3)从数学期望和方差的角度分析,应选拔哪个学生代表学校参加竞赛?

答案： 【解】
(1)由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率 $P=\frac{C_{4}^{2}C_{2}^{1}}{C_{6}^{3}}\times C_{3}^{0}\times(\frac{2}{3})^{0}\times(\frac{1}{3})^{3}+\frac{C_{4}^{1}C_{2}^{2}}{C_{6}^{3}}\times C_{3}^{1}\times\frac{2}{3}\times(\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{15}$.
(2)由题知X的所有可能取值为1，2，3，则 $P(X = 1)=\frac{C_{4}^{1}C_{2}^{2}}{C_{6}^{3}}=\frac{1}{5}$， $P(X = 2)=\frac{C_{4}^{2}C_{2}^{1}}{C_{6}^{3}}=\frac{3}{5}$， $P(X = 3)=\frac{C_{4}^{3}}{C_{6}^{3}}=\frac{1}{5}$. 则X的分布列为：
|X|1|2|3|
|----|----|----|----|
|P|$\frac{1}{5}$|$\frac{3}{5}$|$\frac{1}{5}$|
所以数学期望 $E(X)=1\times\frac{1}{5}+2\times\frac{3}{5}+3\times\frac{1}{5}=2$，方差 $D(X)=\frac{1}{5}\times(1 - 2)^{2}+\frac{3}{5}\times(2 - 2)^{2}+\frac{1}{5}\times(3 - 2)^{2}=\frac{2}{5}$.
(3)设学生乙答对的题数为Y，则Y的所有可能取值为0，1，2，3，则 $Y\sim B(3,\frac{2}{3})$. 所以 $E(Y)=3\times\frac{2}{3}=2$， $D(Y)=3\times\frac{2}{3}\times(1 - \frac{2}{3})=\frac{2}{3}$. 因为 $E(X)=E(Y)$， $D(X)\lt D(Y)$，即甲、乙答对的题目数的数学期望一样，但甲较稳定，所以应选拔学生甲代表学校参加竞赛.

11. 一个盒子中有大小质地完全相同的10个球,其中3个红球,7个白球.从这10个球中任取3个.
(1)若采用不放回抽样,求取出的3个球中红球的个数X的分布列;
(2)若采用有放回抽样,求取出的3个球中红球的个数Y的分布列.

答案： 【解】
(1)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，参数N = 10，M = 3，n = 3，因此 $P(X = k)=\frac{C_{3}^{k}C_{7}^{3 - k}}{C_{10}^{3}}$，k = 0，1，2，3，所以 $P(X = 0)=\frac{C_{3}^{0}C_{7}^{3}}{C_{10}^{3}}=\frac{7}{24}$， $P(X = 1)=\frac{C_{3}^{1}C_{7}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{21}{40}$， $P(X = 2)=\frac{C_{3}^{2}C_{7}^{1}}{C_{10}^{3}}=\frac{7}{40}$， $P(X = 3)=\frac{C_{3}^{3}C_{7}^{0}}{C_{10}^{3}}=\frac{1}{120}$，所以X的分布列为：
|X|0|1|2|3|
|----|----|----|----|----|
|P|$\frac{7}{24}$|$\frac{21}{40}$|$\frac{7}{40}$|$\frac{1}{120}$|
(2)由题意知，随机变量Y的所有可能取值为0，1，2，3，且 $Y\sim B(3,\frac{3}{10})$，所以 $P(Y = 0)=C_{3}^{0}\times(\frac{3}{10})^{0}\times(1-\frac{3}{10})^{3}=\frac{343}{1000}$， $P(Y = 1)=C_{3}^{1}\times\frac{3}{10}\times(1 - \frac{3}{10})^{2}=\frac{441}{1000}$， $P(Y = 2)=C_{3}^{2}\times(\frac{3}{10})^{2}\times(1 - \frac{3}{10})=\frac{189}{1000}$， $P(Y = 3)=C_{3}^{3}\times(\frac{3}{10})^{3}\times(1 - \frac{3}{10})^{0}=\frac{27}{1000}$，所以Y的分布列为：
|Y|0|1|2|3|
|----|----|----|----|----|
|P|$\frac{343}{1000}$|$\frac{441}{1000}$|$\frac{189}{1000}$|$\frac{27}{1000}$|
**易错警示** 超几何分布和二项分布的区别与联系：
(1)超几何分布需要知道总体的容量N，而二项分布不需要；
(2)超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取(独立重复)；
(3)当总体的容量非常大，样本的容量较小时，超几何分布近似于二项分布.