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2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版
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6. [陕西西安2024高二期末]已知一系列样本点$(x_{i},y_{i})(i = 1,2,3,\cdots)$的经验回归方程为$\hat{y}=2x+\hat{a}$,若样本点$(1,-1)$的残差为2,则$\hat{a}=$ ( )
A. -1
B. 1
C. -5
D. 5
A. -1
B. 1
C. -5
D. 5
答案：
C 【解析】由题意得 - 1 - (2×1 + $\hat{a}$)=2，得 $\hat{a}=-5$，故选 C。
→敲黑板：残差是观测值减去预测值
→敲黑板：残差是观测值减去预测值
7. (多选) [辽宁鞍山普通高中2023高二期中]对两个变量$x$与$y$进行线性相关性和回归效果的分析,得到一组样本数据:$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\cdots,(x_{n},y_{n})$,则下列说法正确的是 ( )
A. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好
B. 由样本数据利用最小二乘法得到的经验回归方程表示的直线必过样本点的中心$(\overline{x},\overline{y})$
C. 用决定系数$R^{2}$来刻画回归效果,$R^{2}$越小,说明模型的拟合效果越好
D. 若变量$x$与$y$之间的样本相关系数$r = 0.94$,则变量$x$与$y$之间具有很强的线性相关性
A. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好
B. 由样本数据利用最小二乘法得到的经验回归方程表示的直线必过样本点的中心$(\overline{x},\overline{y})$
C. 用决定系数$R^{2}$来刻画回归效果,$R^{2}$越小,说明模型的拟合效果越好
D. 若变量$x$与$y$之间的样本相关系数$r = 0.94$,则变量$x$与$y$之间具有很强的线性相关性
答案：
ABD 【解析】对于 A，由残差的意义可知，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，A 正确；
对于 B，若经验回归方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，则 $\bar{y}=\hat{b}\bar{x}+\hat{a}$，即经验回归方程表示的直线必过样本点的中心 $(\bar{x},\bar{y})$，B 正确；
对于 C，决定系数 $R^2$ 越大，说明残差的平方和越小，即模型的拟合效果越好，C 不正确；
对于 D，变量 x 与 y 之间的样本相关系数 r = 0.94，样本相关系数较为接近 1，所以变量 x 与 y 之间具有很强的线性相关性，D 正确. 故选 ABD。
对于 B，若经验回归方程为 $\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，则 $\bar{y}=\hat{b}\bar{x}+\hat{a}$，即经验回归方程表示的直线必过样本点的中心 $(\bar{x},\bar{y})$，B 正确；
对于 C，决定系数 $R^2$ 越大，说明残差的平方和越小，即模型的拟合效果越好，C 不正确；
对于 D，变量 x 与 y 之间的样本相关系数 r = 0.94，样本相关系数较为接近 1，所以变量 x 与 y 之间具有很强的线性相关性，D 正确. 故选 ABD。
8. [河南商丘部分学校2024高二期末]某科技公司随着技术的进步和管理的逐渐规范,生产成本逐年降低,该公司对2011年至2023年的生产成本$y$(万元)进行统计,根据统计数据作出如图所示的散点图：
由此散点图,判断下列四个经验回归方程中最适合作为2011年至2023年该公司的生产成本$y$与时间变量$x$($x$的值依次为1,2,$\cdots$,13,分别对应年份2011,2012,$\cdots$,2023)的经验回归方程的是 ( )
A. $y = ax^{2}+b(a＞0)$
B. $y = ax + b(a＞0)$
C. $y = a\ln x + b(a＜0)$
D. $y=\frac{a}{x}+b(a＜0)$
由此散点图,判断下列四个经验回归方程中最适合作为2011年至2023年该公司的生产成本$y$与时间变量$x$($x$的值依次为1,2,$\cdots$,13,分别对应年份2011,2012,$\cdots$,2023)的经验回归方程的是 ( )
A. $y = ax^{2}+b(a＞0)$
B. $y = ax + b(a＞0)$
C. $y = a\ln x + b(a＜0)$
D. $y=\frac{a}{x}+b(a＜0)$
答案：
C
9. [吉林长春外国语2024高二期中]随着移动互联网和直播带货技术的发展,直播带货已经成为一种热门的销售方式,特别是商家通过展示产品,使顾客对商品有更全面的了解. 下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量$y_{i}$(万件)($i = 1,2,3,4,5$)的数据,得到如图所示的散点图. 其中6月份至10月份相应的代码为$x_{i}(i = 1,2,3,4,5)$,如$x_{1}=1$表示6月份.
(1)根据散点图判断模型①$y = a + bx$与模型②$y = c + dx^{2}$哪一个更适宜作为月销售量$y$关于月份代码$x$的经验回归方程? (给出判断即可,不必说明理由)
(2)(ⅰ)根据(1)的判断结果,建立$y$关于$x$的经验回归方程. (计算结果精确到0.01)
(ⅱ)根据(ⅰ)的结果预测12月份的销售量大约是多少万件?
参考公式与数据:$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}y_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}-n\overline{x}^{2}},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$.
$\sum_{i = 1}^{5}x_{i}^{2}=55,\sum_{i = 1}^{5}t_{i}^{2}=979,\sum_{i = 1}^{5}x_{i}y_{i}=80.8,\sum_{i = 1}^{5}t_{i}y_{i}=335.6$,其中$t_{i}=x_{i}^{2}$.
(1)根据散点图判断模型①$y = a + bx$与模型②$y = c + dx^{2}$哪一个更适宜作为月销售量$y$关于月份代码$x$的经验回归方程? (给出判断即可,不必说明理由)
(2)(ⅰ)根据(1)的判断结果,建立$y$关于$x$的经验回归方程. (计算结果精确到0.01)
(ⅱ)根据(ⅰ)的结果预测12月份的销售量大约是多少万件?
参考公式与数据:$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}y_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}-n\overline{x}^{2}},\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$.
$\sum_{i = 1}^{5}x_{i}^{2}=55,\sum_{i = 1}^{5}t_{i}^{2}=979,\sum_{i = 1}^{5}x_{i}y_{i}=80.8,\sum_{i = 1}^{5}t_{i}y_{i}=335.6$,其中$t_{i}=x_{i}^{2}$.
答案：
9.【解】
(1)由散点图可知,散点大致分布在一条曲线的附近,故选模型②y =c+dx'更适宜作为月销售量y关于月份代码x的经验回归方程.
（2）(i)y=1.65+0.25t
(ii)13.9
(1)由散点图可知,散点大致分布在一条曲线的附近,故选模型②y =c+dx'更适宜作为月销售量y关于月份代码x的经验回归方程.
（2）(i)y=1.65+0.25t
(ii)13.9
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