《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. (多选)下列问题属于排列问题的是 ( )
A. 从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B. 从10人中选2人去游泳
C. 从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D. 从数字5,6,7,8中任取三个数组成没有重复数字的三位数

答案： AD 【解析】对于 A，从 6 人中选 2 人分别去游泳和跳绳，选出的 2 人有分工的不同，是排列问题；对于 B，从 10 人中选 2 人去游泳，与顺序无关，不是排列问题；对于 C，从班上 30 名男生中选出 5 人组成一个篮球队，与顺序无关，不是排列问题；对于 D，从数字 5,6,7,8 中任取三个数组成没有重复数字的三位数，各数位上的数字有顺序性，是排列问题. 故选 AD.
规律方法 判断一个具体问题是不是排列问题，要看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”（这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定），看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题.

2. 教材变式[江西上饶2023高二月考]现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动,则不同选派方案的种数是 ( )
A. 20
B. 90
C. 120
D. 240

答案： C 【解析】共有 $A_{6}^{2}=120$（种）不同的选派方案，故选 C.
链接教材 本题是教材 P20 练习第 3 题的变式，题目背景变了，但是解题方法一致.

3. [江苏无锡2024高二段考]不等式$A_{n + 1}^{2}-5n＜5$的解集为 ( )
A. $\{n|-1 ＜ n ＜ 5\}$
B. $\{1,2,3,4\}$
C. $\{3,4\}$
D. $\{4\}$

答案： B 【解析】由 $A_{n + 1}^{2}-5n＜5$ 得 $(n + 1)n-5n＜5$，即 $n^{2}-4n - 5＜0$，解得 $-1＜n＜5$，又 $n + 1\geq2$，$n\in N^{*}$，所以不等式 $A_{n + 1}^{2}-5n＜5$ 的解集为 $\{1,2,3,4\}$. 故选 B.

4. [山西晋中2024高二月考]$(x - 2)(x - 3)(x - 4)\cdots(x - 15)(x\in N^*,x ＞ 15)$可表示为 ( )
A. $A_{x - 2}^{13}$
B. $A_{x - 2}^{14}$
C. $A_{x - 15}^{13}$
D. $A_{x - 15}^{14}$

答案： B 【解析】$(x - 2)(x - 3)(x - 4)\cdots(x - 15)=\frac{(x - 2)(x - 3)(x - 4)\cdots(x - 15)(x - 16)\cdots2\cdot1}{(x - 16)\cdots2\cdot1}=\frac{(x - 2)!}{(x - 16)!}=\frac{(x - 2)!}{[(x - 2)-14]!}=A_{x - 2}^{14}$，故选 B.

5. (多选)[重庆部分学校2024高二联考]下列等式正确的是 ( )
A. $A_{n}^{m}=n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - m)$
B. $A_{7}^{3}=210$
C. $A_{n}^{m}=nA_{n - 1}^{m - 1}$
D. $4\times5\times6\times\cdots\times2024=A_{2024}^{2020}$

答案： BC 【解析】对于 A，$A_{n}^{m}=n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - m + 1)$，故 A 错误；对于 B，$A_{7}^{3}=7\times6\times5 = 210$，故 B 正确；对于 C，因为 $A_{n}^{m}=n(n - 1)(n - 2)\cdots(n - m + 1)$，$A_{n - 1}^{m - 1}=(n - 1)(n - 2)\cdots[(n - 1)-(m - 1)+2][(n - 1)-(m - 1)+1]=(n - 1)(n - 2)\cdots(n - m + 2)(n - m + 1)$，所以 $A_{n}^{m}=nA_{n - 1}^{m - 1}$，故 C 正确；对于 D，$4\times5\times6\times\cdots\times2024=\frac{1\times2\times3\times4\times5\times6\times\cdots\times2024}{1\times2\times3}=\frac{2024!}{(2024 - 2021)!}=A_{2024}^{2021}$，故 D 错误. 故选 BC.

6. [广东东莞部分学校2024高二期末联考]某竞技队伍由1名队长、1名副队长与3名队员构成,按需要担任第1至5号位的任务,由于队长需要分出精力指挥队伍,所以不能担任1号位,副队长是队伍输出核心,必须担任1号位或2号位,则不同的位置安排方式有 ( )
A. 36种
B. 42种
C. 48种
D. 52种

答案： B 【解析】若副队长担任 1 号位，其他位置就没有任何限制，有 $A_{4}^{4}=24$（种）安排方式；若副队长担任 2 号位，则从 3 名队员中选 1 人担任 1 号位，后面的 3 个位置无限制条件，有 $A_{3}^{1}A_{3}^{3}=3\times6 = 18$（种）安排方式. 所以一共有 $24 + 18 = 42$（种）安排方式. 故选 B.
规律方法 位置分析法和元素分析法是解决排列问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主，需先安排特殊元素，再处理其他元素. 若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求，再处理其他位置. 若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件.

7. [黑龙江齐齐哈尔2024高二期中]为推动校园体育建设,落实青少年体育发展促进工程,哈三中举行了春季趣味运动会. 某班派出甲、乙等8名学生参加8×200米接力赛,其中甲只能跑第1棒或第8棒,乙只能跑第7棒或第8棒,那么不同棒次安排方案总数为 ( )
A. 720
B. 1440
C. 2160
D. 2880

答案： C 【解析】当甲跑第 8 棒时，乙只能跑第 7 棒，其余 6 人跑其余棒，共有 $A_{6}^{6}=720$（种）；当甲跑第 1 棒时，先安排乙，有 $A_{2}^{1}=2$（种）方法，再安排其余 6 人，有 $A_{6}^{6}=720$（种），由分步乘法计数原理知共有 $A_{2}^{1}A_{6}^{6}=2\times720 = 1440$（种）. 根据分类加法计数原理可知，共有 $720 + 1440 = 2160$（种）安排方案，故选 C.
名师点拨 直接分类法是求解有限制条件排列问题的常用方法. 先选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数. 而对于分类过多的问题，正难则反，一般采用间接法处理.

8. [广东广州四中2023高二月考]从0,1,2,3,4,5这六个数字中选3个数字,可以组成无重复数字的三位偶数的个数为 ( )
A. 36
B. 48
C. 52
D. 72

答案： C 【解析】根据题意，分 2 种情况讨论：
①若 0 在个位，此时只需在 1,2,3,4,5 中任取 2 个数字，作为十位和百位数字即可，有 $A_{5}^{2}=20$（个）没有重复数字的三位偶数；
②若 0 不在个位，此时必须在 2 或 4 中任取 1 个，作为个位数字，有 $A_{2}^{1}$ 种取法，0 不能作为百位数字，则百位数字有 $A_{4}^{1}$ 种取法，十位数字也有 $A_{4}^{1}$ 种取法，此时共有 $A_{2}^{1}A_{4}^{1}A_{4}^{1}=32$（个）没有重复数字的三位偶数.
综上可得共有 $20 + 32 = 52$（个）没有重复数字的三位偶数. 故选 C.

9. [湖南怀化2023高二期中]有4名男生、5名女生,全排成一行,计算下列情形各有多少种排法.
(1)甲不在中间也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端;
(3)男女相间.

答案： 【解】
(1)方法一（元素分析法）：先排甲有 6 种排法，再排其余人有 $A_{8}^{8}$ 种排法，故共有 $6A_{8}^{8}=241920$（种）排法.
方法二（位置分析法）：中间和两端有 $A_{8}^{3}$ 种排法，包括甲在内的其余 6 人有 $A_{6}^{6}$ 种排法，故共有 $A_{8}^{3}A_{6}^{6}=241920$（种）排法.
方法三（等机会法）：9 个人全排列有 $A_{9}^{9}$ 种排法. 因为甲排在每一个位置的机会都是均等的，所以甲不在中间也不在两端有 $A_{9}^{9}\times\frac{6}{9}=241920$（种）排法.
方法四（间接法）：9 个人全排列有 $A_{9}^{9}$ 种排法. 甲排在中间或两端有 $3A_{8}^{8}$ 种排法，所以甲不在中间也不在两端有 $A_{9}^{9}-3A_{8}^{8}=241920$（种）排法.
(2)先排甲、乙，再排其余 7 人，共有 $A_{2}^{2}A_{7}^{7}=10080$（种）排法.
(3)先排 4 名男生有 $A_{4}^{4}$ 种排法，再将 5 名女生插空，有 $A_{5}^{5}$ 种排法，故共有 $A_{4}^{4}A_{5}^{5}=2880$（种）排法.