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2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版
注：目前有些书本章节名称可能整理的还不是很完善，但都是按照顺序排列的，请同学们按照顺序仔细查找。练习册 2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版 答案主要是用来给同学们做完题方便对答案用的，请勿直接抄袭。
7. (多选)[浙江金华十校2023高二期末联考]金华某地新开了一条夜市街，每晚平均客流量为2万人，每晚最多能接纳的客流量为10万人，主办公司决定通过微信公众号和其他APP进行广告宣传提高营销效果. 通过调研，公司发现另一处同等规模的夜市街投入的广告费$x$（单位：万元）与每晚增加的客流量$y$（单位：千人）存在如下关系：
|$x$/万元|1|2|3|4|5|6|
|$y$/千人|5|6|8|9|12|20|
现用曲线$C:\hat{y}=\hat{c}_{1}+\hat{c}_{2}\times2^{x}$拟合变量$x$与$y$的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数$\hat{c}_{1}$，$\hat{c}_{2}$的最小二乘估计（精确到0.1），依所求经验回归方程$C$为预测依据，则 （ ）
参考数据：$\overline{y}=10$，$\sum_{i = 1}^{6}x_{i}y_{i}=257$，$\sum_{i = 1}^{6}x_{i}^{2}=91$，$\sum_{i = 1}^{6}2^{i}=126$，$\sum_{i = 1}^{6}(2^{i})^{2}=5460$，$\sum_{i = 1}^{6}2^{i}y_{i}=1906$.
附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}y_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}-n\overline{x}^{2}}$，$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$.
A. $\hat{c}_{1}=5.8$
B. 曲线$C$经过点$(\log_{2}21,9.4)$
C. 广告费每增加1万元，每晚客流量平均增加3000人
D. 若广告费超过9万元，则每晚客流量会超过夜市街的接纳能力
|$x$/万元|1|2|3|4|5|6|
|$y$/千人|5|6|8|9|12|20|
现用曲线$C:\hat{y}=\hat{c}_{1}+\hat{c}_{2}\times2^{x}$拟合变量$x$与$y$的相关关系，并利用一元线性回归模型求参数$\hat{c}_{1}$，$\hat{c}_{2}$的最小二乘估计（精确到0.1），依所求经验回归方程$C$为预测依据，则 （ ）
参考数据：$\overline{y}=10$，$\sum_{i = 1}^{6}x_{i}y_{i}=257$，$\sum_{i = 1}^{6}x_{i}^{2}=91$，$\sum_{i = 1}^{6}2^{i}=126$，$\sum_{i = 1}^{6}(2^{i})^{2}=5460$，$\sum_{i = 1}^{6}2^{i}y_{i}=1906$.
附：一元线性回归模型参数的最小二乘估计公式：$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}y_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}^{2}-n\overline{x}^{2}}$，$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$.
A. $\hat{c}_{1}=5.8$
B. 曲线$C$经过点$(\log_{2}21,9.4)$
C. 广告费每增加1万元，每晚客流量平均增加3000人
D. 若广告费超过9万元，则每晚客流量会超过夜市街的接纳能力
答案：
BD
8. 某商场为一种商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据.
(1) 按照上述数据，则$y$关于$x$的经验回归方程为______.
(2) 预计在今后的销售中，销量与单价仍然满足(1)中的关系，若该商品的成本是每件7.5元，为使商场获得最大利润，该商品的单价应定为______元.（利润 = 销售收入 - 成本）
(1) 按照上述数据，则$y$关于$x$的经验回归方程为______.
(2) 预计在今后的销售中，销量与单价仍然满足(1)中的关系，若该商品的成本是每件7.5元，为使商场获得最大利润，该商品的单价应定为______元.（利润 = 销售收入 - 成本）
答案：
(1)$\hat{y}=-20x + 250$
(2)10
【解析】
(1)设经验回归方程为$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，由题意知，$\bar{x}=\frac{1}{6}\times(8 + 8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5$，$\bar{y}=\frac{1}{6}\times(90 + 84+83+80+75+68)=80$，$\sum_{i = 1}^{6}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})=-14$，$\sum_{i = 1}^{6}(x_{i}-\bar{x})^{2}=0.7$，所以$\hat{b}=\frac{-14}{0.7}=-20$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=80 + 20\times8.5=250$，所以经验回归方程为$\hat{y}=-20x + 250$.
(2)设商场获得的利润为$W$元，依题意得，$W=x(-20x + 250)-7.5(-20x + 250)=-20x^{2}+400x - 1875=-20(x - 10)^{2}+125$，当且仅当$x = 10$时，$W$取得最大值，故当单价定为10元时，商场可获得最大利润.
(1)$\hat{y}=-20x + 250$
(2)10
【解析】
(1)设经验回归方程为$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，由题意知，$\bar{x}=\frac{1}{6}\times(8 + 8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5$，$\bar{y}=\frac{1}{6}\times(90 + 84+83+80+75+68)=80$，$\sum_{i = 1}^{6}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})=-14$，$\sum_{i = 1}^{6}(x_{i}-\bar{x})^{2}=0.7$，所以$\hat{b}=\frac{-14}{0.7}=-20$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}=80 + 20\times8.5=250$，所以经验回归方程为$\hat{y}=-20x + 250$.
(2)设商场获得的利润为$W$元，依题意得，$W=x(-20x + 250)-7.5(-20x + 250)=-20x^{2}+400x - 1875=-20(x - 10)^{2}+125$，当且仅当$x = 10$时，$W$取得最大值，故当单价定为10元时，商场可获得最大利润.
9. [河南南阳六校2024高二期末联考]扬子鳄是中国特有的一种小型鳄类，是国家一级重点保护野生动物，活动区域主要在长江下游流域. 研究人员为了解扬子鳄的生长发育情况，随机抽取了6只扬子鳄，测量它们的头长$x$（单位：cm）与体长$y$（单位：cm），得到如下数据：
|样本编号$i$|1|2|3|4|5|6|
|头长$x$|15|15.3|15.3|16.6|16.8|17|
|体长$y$|125|128|130|138|142|153|
并计算得$\sum_{i = 1}^{6}(x_{i}-\overline{x})^{2}\approx4$，$\sum_{i = 1}^{6}(y_{i}-\overline{y})^{2}=550$，$\sum_{i = 1}^{6}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})\approx44$.
(1) 求这6只扬子鳄的平均头长与平均体长；
(2) 求扬子鳄的头长与体长的样本相关系数；（精确到0.01）
(3) 已知$x$与$y$之间的相关关系可以用模型$y = bx - 40$进行拟合，若某只扬子鳄的头长为20 cm，利用所给数据估计这只扬子鳄的体长.
附：样本相关系数$r=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}\sum_{i = 1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}}}$，$\sqrt{5.5}\approx2.35$.
|样本编号$i$|1|2|3|4|5|6|
|头长$x$|15|15.3|15.3|16.6|16.8|17|
|体长$y$|125|128|130|138|142|153|
并计算得$\sum_{i = 1}^{6}(x_{i}-\overline{x})^{2}\approx4$，$\sum_{i = 1}^{6}(y_{i}-\overline{y})^{2}=550$，$\sum_{i = 1}^{6}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})\approx44$.
(1) 求这6只扬子鳄的平均头长与平均体长；
(2) 求扬子鳄的头长与体长的样本相关系数；（精确到0.01）
(3) 已知$x$与$y$之间的相关关系可以用模型$y = bx - 40$进行拟合，若某只扬子鳄的头长为20 cm，利用所给数据估计这只扬子鳄的体长.
附：样本相关系数$r=\frac{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}\sum_{i = 1}^{n}(y_{i}-\overline{y})^{2}}}$，$\sqrt{5.5}\approx2.35$.
答案：
【解】
(1)平均头长$\bar{x}=15+\frac{1}{6}\times(0 + 0.3+0.3+1.6+1.8+2)=16(cm)$，平均体长$\bar{y}=130+\frac{1}{6}\times(-5 - 2+0+8+12+23)=136(cm)$.
(2)由题可知$r=\frac{\sum_{i = 1}^{6}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{6}(x_{i}-\bar{x})^{2}\sum_{i = 1}^{6}(y_{i}-\bar{y})^{2}}}\approx\frac{44}{\sqrt{4\times550}}=\frac{44}{20\times\sqrt{5.5}}\approx\frac{44}{47}\approx0.94$.
(3)由题意知$\bar{y}=\hat{b}\bar{x}-40$，所以$\hat{b}=\frac{136 + 40}{16}=11$，所以$\hat{y}=11x-40$，令$x = 20$，得$\hat{y}=180$，因此估计这只扬子鳄的体长为180cm.
(1)平均头长$\bar{x}=15+\frac{1}{6}\times(0 + 0.3+0.3+1.6+1.8+2)=16(cm)$，平均体长$\bar{y}=130+\frac{1}{6}\times(-5 - 2+0+8+12+23)=136(cm)$.
(2)由题可知$r=\frac{\sum_{i = 1}^{6}(x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{6}(x_{i}-\bar{x})^{2}\sum_{i = 1}^{6}(y_{i}-\bar{y})^{2}}}\approx\frac{44}{\sqrt{4\times550}}=\frac{44}{20\times\sqrt{5.5}}\approx\frac{44}{47}\approx0.94$.
(3)由题意知$\bar{y}=\hat{b}\bar{x}-40$，所以$\hat{b}=\frac{136 + 40}{16}=11$，所以$\hat{y}=11x-40$，令$x = 20$，得$\hat{y}=180$，因此估计这只扬子鳄的体长为180cm.
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