《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. [吉林长春实验中学2023高二月考]一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中2个红色球(标号为1和2)2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率为 （ ）
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{12}$

答案： A 【解析】从袋中不放回地依次随机摸出2个球，设第一次摸到红球为事件A，则$n(A)=C_{2}^{1}C_{3}^{1}=6$，设两次都摸到红球为事件B，则$n(B)=A_{2}^{2}=2$，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率$P = \frac{n(B)}{n(A)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$，故选A。

2. 下列说法正确的是 （ ）
A. $P((B + C)|A)=P(B|A)+P(C|A)$
B. $0＜P(B|A)＜1$
C. 若$P(B|A)=P(A|B)$，则$P(A)=P(B)$
D. 若$B\subseteq A$，则$P(B|A)=\frac{P(B)}{P(A)}$

答案： D 【解析】对于A，当B与C不是两个互斥事件时，$P((B + C)|A)=P(B|A)+P(C|A)$不成立，A错误；对于B，条件概率的范围应该为$0\leq P(B|A)\leq1$，B错误；对于C，因为$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$，$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$，若$P(B|A)=P(A|B)$，则$\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(AB)}{P(B)}$，所以$P(AB)=0$或$P(A)=P(B)$，C错误；对于D，若$B\subseteq A$，则$P(AB)=P(B)$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(B)}{P(A)}$，D正确。故选D。

3. [北京海淀区2024高二期末]已知一批产品中，$A$项指标合格的比例为80%，$B$项指标合格的比例为90%，$A$，$B$两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若$A$项指标合格，则该产品的$B$项指标也合格的概率是 （ ）
A. $\frac{3}{7}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{5}{6}$

答案： C 【解析】记事件A为“A项指标合格”，事件B为“B项指标合格”，则$P(A)=80\%$，$P(B)=90\%$，$P(AB)=60\%$，所以$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{60\%}{80\%}=\frac{3}{4}$。故选C。

4. [河南部分学校2024高二联考]甲、乙两人各自在$A$，$B$两个区域各投篮1次，且每次投篮互不影响，甲在$A$区域投中的概率为0.6，在$B$区域投中的概率为0.3；乙在$A$区域投中的概率为0.8，在$B$区域投中的概率为0.2. 已知甲、乙共投中3次，则甲恰好投中2次的概率为 （ ）
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{9}{17}$
D. $\frac{17}{29}$

答案： D 【解析】设“甲、乙共投中3次”为事件C，“甲恰好投中2次”为事件D，则$P(C)=(0.6×0.7 + 0.4×0.3)×0.8×0.2+(0.8×0.8 + 0.2×0.2)×0.6×0.3 = 0.2088$，事件C包含乙两次都投中，甲投中1次和乙投中1次、甲两次都投中两种情况。$P(CD)=(0.8×0.8 + 0.2×0.2)×0.6×0.3 = 0.1224$，故$P(D|C)=\frac{P(CD)}{P(C)}=\frac{0.1224}{0.2088}=\frac{17}{29}$。故选D。

5. [江苏三校2024高二联考]坛子里放着5个大小、形状都相同的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的，如果不放回地依次拿出2个鸭蛋.
(1)求第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；
(2)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，求第2次拿出绿皮鸭蛋的概率.

答案： 【解】
(1)记“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，易知$P(A)=\frac{3}{5}$，即第1次拿出绿皮鸭蛋的概率为$\frac{3}{5}$。
(2)记“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则可得$P(AB)=\frac{3}{5}×\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$，由条件概率计算公式可得$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1}{2}$，所以在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为$\frac{1}{2}$。

6. 将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生. $A$表示事件“医生甲派往①村庄”，$B$表示事件“医生乙派往①村庄”，$C$表示事件“医生乙派往②村庄”，则 （ ）
A. 事件$A$与$B$相互独立
B. 事件$A$与$C$相互独立
C. $P(B|A)=\frac{5}{12}$
D. $P(C|A)=\frac{5}{12}$

答案： D 【解析】将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动，有$C_{4}^{2}A_{3}^{3}=36$（个）样本点，它们等可能，事件A含有的样本点数为$A_{3}^{3}+C_{3}^{2}A_{2}^{2}=12$，则$P(A)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$，同理$P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$。事件AB含有的样本点数为$A_{2}^{2}=2$，则$P(AB)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$，事件AC含有的样本点数为$C_{2}^{2}+C_{2}^{1}C_{2}^{1}=5$，则$P(AC)=\frac{5}{36}$。对于A，$P(A)P(B)=\frac{1}{9}\neq P(AB)$，即事件A与B不相互独立，A不正确；对于B，$P(A)P(C)=\frac{1}{9}\neq P(AC)$，即事件A与C不相互独立，B不正确；对于C，$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{1}{6}$，C不正确；对于D，$P(C|A)=\frac{P(AC)}{P(A)}=\frac{5}{12}$，D正确。故选D。

7. 盒子中有10张奖券，其中3张有奖，甲、乙先后从中各抽取1张(不放回)，记“甲中奖”为事件$A$，“乙中奖”为事件$B$.
(1)求$P(A)$，$P(B)$，$P(AB)$，$P(A|B)$；
(2)判断事件$A$与$B$是否相互独立，并说明理由.

答案： 【解】
(1)$P(A)=\frac{C_{3}^{1}}{C_{10}^{1}}=\frac{3}{10}$，$P(B)=\frac{3}{10}×\frac{C_{2}^{1}}{C_{9}^{1}}+\frac{7}{10}×\frac{C_{3}^{1}}{C_{9}^{1}}=\frac{3}{10}$，$P(AB)=\frac{3}{10}×\frac{C_{2}^{1}}{C_{9}^{1}}=\frac{1}{15}$，$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{1}{15}×\frac{10}{3}=\frac{2}{9}$。
(2)$\because P(AB)=\frac{1}{15}\neq P(A)P(B)$，$\therefore$事件A与B不相互独立。