《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

15. 某大型水果超市每天以10元/千克的价格从水果基地购进若干$A$水果，然后以15元/千克的价格出售，若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回水果基地. 为了确定进货数量，该超市记录了$A$水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理如下表所示.

以50天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率.
（1）求该超市$A$水果日需求量$X$（单位：千克）的分布列；
（2）若该超市一天购进$A$水果150千克，记该超市当天$A$水果获得的利润为$Y$（单位：元），求$Y$的分布列.

答案： 【解】
(1)X的分布列为：
|X|140|150|160|170|180|190|200|
|----|----|----|----|----|----|----|----|
|P|0.1|0.2|0.16|0.16|0.14|0.14|0.1|
(2)若A水果日需求量为140千克，则$Y = 140\times(15 - 10)-(150 - 140)\times(10 - 8)=680$(元)，所以$P(Y = 680)=0.1$。若A水果日需求量不小于150千克，则$Y = 150\times(15 - 10)=750$(元)，所以$P(Y = 750)=1 - 0.1 = 0.9$。则Y的所有可能取值为680，750。故Y的分布列为：
|Y|680|750|
|----|----|----|
|P|0.1|0.9|

16. [四川成都2023高二月考]下列选项中的随机变量不服从两点分布的是 （ ）
A. 抛掷一枚骰子，所得点数$X$
B. 某射击射手射击一次，击中目标的次数$X$
C. 从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设$X=\begin{cases}1,取出白球,\\0,取出红球\end{cases}$
D. 某医生做一次手术，手术成功的次数$X$

答案： A【解析】对于选项A，抛掷一枚骰子，所得点数X的取值范围为$\{1,2,3,4,5,6\}$，所以A中的随机变量不服从两点分布；对于选项B，射击手射击一次，有击中目标和不击中目标两种可能的结果，B中的随机变量服从两点分布；对于选项C，袋中只有红球和白球，取出1个球，可能取到红球或者白球，C中的随机变量服从两点分布；对于选项D，医生做一次手术，手术可能成功，也可能失败，D中的随机变量服从两点分布。故选A。

17. [山东菏泽2024高二期末]若$X$服从两点分布，$P(X = 1)-P(X = 0)=0.32$，则$P(X = 0)$等于 （ ）
A. 0.32
B. 0.34
C. 0.66
D. 0.68

答案： B【解析】依题意可得$P(X = 1)+P(X = 0)=1$，又$P(X = 1)-P(X = 0)=0.32$，所以$P(X = 0)=\frac{1 - 0.32}{2}=0.34$。故选B。

18. [江苏连云港2024高二期中]已知随机变量$X$服从两点分布，且$P(X = 1)=0.4$，设$Y = 2X - 1$，那么$P(Y = -1)=$_______.

答案： 0.6【解析】由题意可知，$Y = - 1$，即$2X - 1 = - 1$，解得$X = 0$，又随机变量X服从两点分布，且$P(X = 1)=0.4$，所以$P(Y = - 1)=P(X = 0)=1 - 0.4 = 0.6$。

19. 下列随机变量中不是离散型随机变量的有_______.（填序号）
①某宾馆每天入住的旅客数量$X$；
②广州某水文站观测到一天中珠江的水位$X$；
③深圳欢乐谷一日接待游客的数量$X$；
④虎门大桥一天经过的车辆数$X$.

答案： 2【解析】①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量。【易错警示】这类问题主要考查离散型随机变量的概念，解答过程中要明确其满足的四个特征：
(1)离散型随机变量可用实数来表示；
(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取值；
(4)试验结果能一一列出。

20. 一盒中有10个羽毛球，其中8个新的，2个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数$X$是一个随机变量，其分布列为$P(X)$，则$P(X = 4)=$ （ ）

A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{8}{15}$
C. $\frac{7}{30}$
D. $\frac{4}{15}$

答案： A【解析】因为从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数$X = 4$，即旧球的个数增加了2个，所以取出的3个球中必有2个新球，即取出的3个球必为1个旧球，2个新球，所以$P(X = 4)=\frac{C_{2}^{1}C_{8}^{2}}{C_{10}^{3}}=\frac{7}{15}$。故选A。【易错警示】本题容易因对题意理解不清楚，无法正确分析出$X = 4$时对应的取球情况，而产生错误。