《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

10. [河南信阳2024高二期末]已知随机变量X的概率分布列为P(X = n)=asin$\frac{\pi}{4n - 2}$(n = 1,2),其中a是常数,则E($\frac{1}{a}$X)= ( )
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{4}{3}$
C. 2
D. $\frac{8}{9}$

答案： C 【解析】由$P(X = n)=a\sin\frac{\pi}{4n - 2}(n = 1,2)$，得$P(X = 1)=a$，$P(X = 2)=\frac{1}{2}a$。由$P(X = 1)+P(X = 2)=1$，得$a=\frac{2}{3}$，
于是$E(X)=1\times P(X = 1)+2\times P(X = 2)=2a=\frac{4}{3}$，所以$E(\frac{1}{a}X)=\frac{3}{2}E(X)=2$。故选 C。

11. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c,a,b,c∈(0,1),且a + b + c = 1,已知他投篮一次得分的数学期望为2,则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{3b}$的最小值为________.

答案： $\frac{16}{3}$ 【解析】因为一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为$a$，得 2 分的概率为$b$，不得分的概率为$c$，且$a,b,c\in(0,1)$，$a + b + c = 1$，已知他投篮一次得分的数学期望为 2，则$3a + 2b = 2$，
所以$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}=\frac{1}{2}(\frac{2}{a}+\frac{1}{3b})(3a + 2b)=\frac{1}{2}(\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}+6+\frac{2}{3})\geqslant\frac{1}{2}(2\sqrt{\frac{4b}{a}\cdot\frac{a}{b}}+6+\frac{2}{3})=\frac{16}{3}$，当且仅当$\frac{4b}{a}=\frac{a}{b}$，即$b=\frac{1}{4}$，$a=\frac{1}{2}$时取等号，所以$\frac{2}{a}+\frac{1}{3b}$的最小值为$\frac{16}{3}$。

12. [辽宁沈阳2024高二段考]已知x,y,z∈N*,且x + y + z = 10,记随机变量ξ为x,y,z中的最大值,则E(3ξ)=________.

答案： 17 

13. [江西抚州七校2023高二期中联考]某实验测试的规则是:每位学生最多可做实验3次,一旦实验成功,则停止实验,否则一直做到3次为止. 设某学生一次实验成功的概率为p(0＜p＜1),各次实验之间互不影响,实验次数为随机变量X,若X的数学期望E(X)＞1. 56,则p的取值范围是 ( )
A. (0,0. 6)
B. (0,0. 8)
C. (0. 6,1)
D. (0. 8,1)

答案： A 【解析】依题意，$X$的所有可能取值为 1,2,3，
$P(X = 1)=p$，$P(X = 2)=(1 - p)p$，$P(X = 3)=(1 - p)^{2}$，
由$E(X)=1\times p+2\times(1 - p)p+3\times(1 - p)^{2}=p^{2}-3p + 3＞1.56$，解得$p＜0.6$或$p＞2.4$。
又因为$0＜p＜1$，所以$0＜p＜0.6$，故选 A。

14. [重庆八中2024月考]已知5只小白鼠中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的小白鼠. 血液化验结果呈阳性的即为患病,呈阴性即为未患病. 下面是两种化验方法:
方案甲:逐个化验,直到能确定患病小白鼠为止.
方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验,若结果呈阳性则表明患病的小白鼠为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.
若随机变量ξ₁,ξ₂分别表示用方案甲、方案乙进行检测所需的检测次数.
(1)求ξ₁,ξ₂能取到的最大值和其对应的概率.
(2)为使检测次数的期望最小,同学们应该选取甲方案还是乙方案? 并说明理由.

答案： 【解】
(1)用方案甲，最多检测 4 次，即前 3 次检测均未检测出患病，则第四次检测出患病或第四次没检测出患病都将知道哪一只是患病的，所以$\xi_{1}$的最大值为 4，即$P(\xi_{1}=4)=\frac{A_{4}^{3}}{A_{5}^{3}}=\frac{2}{5}$。
巧思：$P(\xi_{1}=4)=\frac{C_{4}^{1}A_{4}^{3}}{A_{5}^{4}}=\frac{2}{5}$
用方案乙，最多检测 3 次，即若混检时，检测结果为阳性，继续逐个检测时，第一次未验中，无论第二次是否验中，均可得出结果，若混检时，没检测出阳性，则剩下两只只需要检测一次就知道结果，所以$\xi_{2}$的最大值为 3，即$P(\xi_{2}=3)=\frac{C_{4}^{2}\cdot C_{1}^{1}}{C_{5}^{3}}\cdot\frac{C_{2}^{1}}{C_{3}^{1}}=\frac{2}{5}$。
点悟：从 5 只中选出包含患病小白鼠的 3 只的概率为$\frac{C_{4}^{2}C_{1}^{1}}{C_{5}^{3}}$，3 只小白鼠的化验顺序中第一次未验中的概率为$\frac{C_{2}^{1}}{C_{3}^{1}}$
(2)方案甲：检测所需要的次数$\xi_{1}$的可能取值是 1,2,3,4，
$P(\xi_{1}=1)=\frac{1}{5}$，$P(\xi_{1}=2)=\frac{A_{4}^{1}}{A_{5}^{2}}=\frac{1}{5}$，
$P(\xi_{1}=3)=\frac{A_{4}^{2}}{A_{5}^{3}}=\frac{1}{5}$，$P(\xi_{1}=4)=\frac{2}{5}$，
故$E(\xi_{1})=\frac{1}{5}\times1+\frac{1}{5}\times2+\frac{1}{5}\times3+\frac{2}{5}\times4=\frac{14}{5}$。
方案乙：检测所需要的次数$\xi_{2}$的可能取值是 2,3，
若乙验 2 次时，有两种可能：
①三只小白鼠混检时结果为阳性，再从中逐个化验时，恰好一次验中概率为$\frac{C_{4}^{2}\cdot C_{1}^{1}}{C_{5}^{3}}\cdot\frac{1}{C_{3}^{1}}=\frac{1}{5}$；
②三只小白鼠混检时结果为阴性，再从其他两只小白鼠中验阳性的概率为$\frac{C_{4}^{3}}{C_{5}^{3}}=\frac{2}{5}$，
点悟：无论第二次选哪只，是否验中，均可以在第二次结束
故$P(\xi_{2}=2)=\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$。
$P(\xi_{2}=3)=1 - P(\xi_{2}=2)=1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$，
所以$E(\xi_{2})=\frac{3}{5}\times2+\frac{2}{5}\times3=\frac{12}{5}$。
由上可得$E(\xi_{2})＜E(\xi_{1})$，
因此，同学们应该选择乙方案。

15. 一盒中有9个正品零件和3个次品零件,安装机器时从这批零件中随机抽取,若取出的是次品则不放回,求在第一次取到正品之前已取出的次品数X的分布列和均值.

答案：
【解】随机变量$X$的所有可能取值为 0,1,2,3。$X = 0$表示“第一次取到正品”，则$P(X = 0)=\frac{A_{9}^{1}}{A_{12}^{1}}=\frac{3}{4}$，$X = 1$表示“第一次取到次品，第二次取到正品”，则$P(X = 1)=\frac{A_{3}^{1}A_{9}^{1}}{A_{12}^{2}}=\frac{9}{44}$，
同理，可求得$P(X = 2)=\frac{A_{3}^{2}A_{9}^{1}}{A_{12}^{3}}=\frac{9}{220}$，$P(X = 3)=\frac{A_{3}^{3}A_{9}^{1}}{A_{12}^{4}}=\frac{1}{220}$。
因此随机变量$X$的分布列为

所以随机变量$X$的均值$E(X)=0\times\frac{3}{4}+1\times\frac{9}{44}+2\times\frac{9}{220}+3\times\frac{1}{220}=\frac{66}{220}=\frac{3}{10}$。
易错警示 求随机变量的均值首先应明确随机变量的取值，并求出其概率后，列出相应的分布列，根据公式求均值。在求解此类问题时，要注意随机变量取值的准确性以及计算的正确性。本题中的易错之处是试验结果的所有可能情况列举不全，漏掉了$X = 0$的情况，即第一次取到正品的情况。