《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

7. 某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：现有完全相同的甲，乙两个箱子(如图)，其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同. 某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球.
（1）求摸出的球是黑球的概率；
（2）若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大.

答案： 【解】
(1)记事件A表示“球取自甲箱”，事件$\overline{A}$表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，则$P(A)=P(\overline{A})=\frac{1}{2}$，$P(B|A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，$P(B|\overline{A})=\frac{2}{5}$。由全概率公式得$P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\times\frac{2}{5}=\frac{11}{30}$。
(2)该球取自乙箱的可能性更大，理由如下：该球取自甲箱的概率$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}{\frac{11}{30}}=\frac{5}{11}$，该球取自乙箱的概率$P(\overline{A}|B)=\frac{P(\overline{A})P(B|\overline{A})}{P(B)}=\frac{\frac{1}{2}\times\frac{2}{5}}{\frac{11}{30}}=\frac{6}{11}$。因为$P(A|B)＜P(\overline{A}|B)$，所以该球取自乙箱的可能性更大。

8.（多选）[甘肃天水2023高二期末]某市为丰富青少年暑假生活，推出多项益智游乐项目. 小乐与好朋友一起选择了该市的甲、乙两个儿童乐园游乐场去打卡. 小乐与好朋友第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为0.3和0.7. 如果他们第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为0.6，则 （ ）
A. 第二天去甲游乐场的概率为0.63
B. 第二天去乙游乐场的概率为0.45
C. 第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为$\frac{2}{3}$
D. 第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为$\frac{4}{9}$

答案： **AC** 【解析】设$A_1$：第一天去甲游乐场，$A_2$：第二天去甲游乐场，$B_1$：第一天去乙游乐场，$B_2$：第二天去乙游乐场，依题意可得$P(A_1)=0.3$，$P(B_1)=0.7$，$P(A_2|A_1)=0.7$，$P(A_2|B_1)=0.6$。对于A，$P(A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)+P(B_1)P(A_2|B_1)=0.3\times0.7 + 0.7\times0.6 = 0.63$，A正确；对于B，$P(B_2)=1 - P(A_2)=0.37$，B错误；对于C，$P(B_1|A_2)=\frac{P(B_1)P(A_2|B_1)}{P(A_2)}=\frac{0.7\times0.6}{0.63}=\frac{2}{3}$，C正确；对于D，$P(A_1|B_2)=\frac{P(A_1)P(B_2|A_1)}{P(B_2)}=\frac{P(A_1)[1 - P(A_2|A_1)]}{P(B_2)}=\frac{0.3\times(1 - 0.7)}{0.37}=\frac{9}{37}$，D错误。故选AC。

9. [湖南长沙雅礼中学2024月考]某公司员工小明上班出行方式有自驾、坐公交车、骑共享单车三种，某天早上他选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{6}$，则小明这一天迟到的概率为_______；若小明这一天迟到了，则他这天自驾上班的概率为_______.

答案： $\frac{37}{180}$ $\frac{15}{37}$ 【解析】由题意设事件A表示“自驾”，事件B表示“坐公交车”，事件C表示“骑共享单车”，事件D表示“迟到”，则$P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3}$，$P(D|A)=\frac{1}{4}$，$P(D|B)=\frac{1}{5}$，$P(D|C)=\frac{1}{6}$。由全概率公式可得小明这一天迟到的概率$P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=\frac{1}{3}\times(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6})=\frac{37}{180}$。小明这一天迟到了，由贝叶斯公式得他这天自驾上班的概率$P(A|D)=\frac{P(AD)}{P(D)}=\frac{P(A)P(D|A)}{P(D)}=\frac{\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}}{\frac{37}{180}}=\frac{15}{37}$。

10. 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正. 一射手用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4.
（1）该射手任取1支枪射击，中靶的概率是多少?
（2）若任取1支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率.

答案： 【解】设A表示“枪已校正”，B表示“射击中靶”。则$P(A)=\frac{3}{5}$，$P(\overline{A})=\frac{2}{5}$，$P(B|A)=0.9$，$P(\overline{B}|A)=0.1$，$P(B|\overline{A})=0.4$，$P(\overline{B}|\overline{A})=0.6$。
(1)$P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=\frac{3}{5}\times0.9+\frac{2}{5}\times0.4 = 0.7$。
(2)$P(\overline{A}|B)=\frac{P(\overline{A})P(B|\overline{A})}{P(\overline{A})P(B|\overline{A})+P(A)P(\overline{B}|A)}=\frac{\frac{2}{5}\times0.6}{\frac{2}{5}\times0.6+\frac{3}{5}\times0.1}=0.8$。