《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. [北京人大附中2024三模]已知$(\frac{2}{\sqrt{x}} - x)^n$的二项式系数之和为64,则其展开式的常数项为( )
A. -240
B. 240
C. 60
D. -60

答案： B　

2. [黑龙江哈三中2024高二期中]$(x^2 - x + 2)^6$的展开式中,$x^5$的系数为( )
A. -252
B. -492
C. -720
D. -732

答案： D

3. 已知$bx^n + 1 = a_0 + a_1(x - 1) + a_2(x - 1)^2 + \cdots + a_n(x - 1)^n$对任意$x \in \mathbf{R}$恒成立,且$a_1 = 9,a_2 = 36$,则$b =$( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： A

4. [江苏南京2023高二月考]已知$(1 - x)^4(1 + 2x)^5 + (1 + 2023x)^{2022} + (1 - 2022x)^{2023}$的展开式中$x$的系数为$q$. 空间中有$q$个点,其中任何四点不共面,这$q$个点可以确定的直线条数为$m$,以这$q$个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为$n$,以这$q$个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为$p$,则$m + n + p =$( )
A. 2 022
B. 2 023
C. 40
D. 50

答案： D　

5. (多选) [湖南长沙2023高二期中联考]已知$C_n^2 = C_n^4$,则在二项式$(2x - \frac{1}{x})^n$的展开式中,正确的说法是( )
A. $n = 6$
B. 常数项是第3项
C. 各项的系数和是1
D. 第4项的二项式系数最大

答案： ACD

6. (多选) [浙江杭州多校2024高二月考]已知$(1 - 2x)^5 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_5x^5$,则下列结论正确的是( )
A. $a_3 = -80$
B. $a_4 \geqslant |a_i|(i = 0,1,\cdots,5)$
C. $|a_1| + |a_2| + |a_3| + |a_4| + |a_5| = 243$
D. $\frac{a_1}{2} + \frac{a_2}{2^2} + \frac{a_3}{2^3} + \frac{a_4}{2^4} = 0$

答案： ABD

7. [黑龙江大庆实验中学2023高二期中]南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项展开式的系数构成的三角形数阵(如图所示),在“杨辉三角”中,第20行所有数字的平方和等于________. (用一个组合数作答)
第0行        1
第1行      1 1
第2行      1 2 1
第3行     1 3 3 1
第4行    1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
… …

答案： C

8. [广东广州2024高二联考]已知二项式$(ax + 1)^n(a \neq 0)$的展开式中仅第5项的二项式系数最大,且第4项、第5项、第6项的系数成等差数列.
(1)求$a$和$n$的值;
(2)当$x = 3,a,b \in \mathbf{N}^*$时,若$(ax + 1)^n + b$恰好能被6整除,求$b$的最小值.

答案： 8.[解]
(1)因为二项式(ax+1)”的展开式中仅第5项的二项式系数最大，所以n=8.
　二项式(ax+1)⁸展开式的通项为T=C(ax)⁸−(0≤r≤8且r∈N),所以第4项、第5项、第6项的系数分别为Cα⁵,Cα²,Cα²,
　由C3a²+Ca²=2Ca²,且a≠0,可得56a²+56=140a,解得a=2或a=$\frac{1}{2}$
(2)因为a∈N”,所以a=2.
　当x=3时,(ax+1)+b=7+b.
　因为7⁸+b=(6+1)⁸+b=C×6⁸+C×6²×1+C²×6°×1²+...+C{×6×1²+C×1⁸+b
　=6(C×6²+C×66+C²×6²+...+C²)+1+b,
　又(ax+1)”+b恰好能被6整除,所以b+1=6k,k∈Z.
　因为beN,所以b的最小值为5,

9. [中国科学技术大学2023强基计划]使得$(1 + 2x)^{2023}$展开式中$x^n$的系数最大,则正整数$n$的值为________.

答案： 1349

10. [复旦大学2021强基计划]$(x^2 + \frac{1}{xy} + y^4 + \frac{1}{y^2})^8$的常数项为________.

答案： 1680