《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. [江西抚州一中2023高二月考]下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（ ）
A. 将一枚硬币连抛3次,记正面向上的次数为X
B. 某射手射击的命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X
C. 从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部,记选出女生的人数为X
D. 盒中有4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X

答案： **C** 【解析】对于A选项，将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布，A不满足题意；对于B选项，某射手射击的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X，则X服从两点分布，B不满足题意；对于C选项，从7男3女共10名学生干部中选出5名学生干部，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布，C满足题意；对于D选项，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X，则X不服从超几何分布，D不满足题意. 故选C.
**规律方法** 判断随机变量是否服从超几何分布，可以从两个方面判断：①超几何分布描述的是不放回抽样问题；②随机变量为抽到的某类个体的个数.

2. [辽宁六校协作体2023高二联考]某学习小组共12人,其中有5名是“三好学生”,现从该学习小组中任选5人参加竞赛,用ξ表示这5人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于$\frac{C_{5}^{5}C_{7}^{0}+C_{5}^{1}C_{7}^{4}}{C_{12}^{5}}$的是（ ）
A. $P(\xi =1)$
B. $P(\xi \leq1)$
C. $P(\xi \geq1)$
D. $P(\xi \leq2)$

答案： **B** 【解析】由题意可得 $P(\xi = 0)=\frac{C_{7}^{5}C_{5}^{0}}{C_{12}^{5}}$，$P(\xi = 1)=\frac{C_{7}^{4}C_{5}^{1}}{C_{12}^{5}}$，$\therefore P(\xi\leq1)=P(\xi = 0)+P(\xi = 1)=\frac{C_{7}^{5}C_{5}^{0}+C_{7}^{4}C_{5}^{1}}{C_{12}^{5}}$. 故选B.

3. (多选)[吉林长春东北师大附中2024高二月考]袋中有10个大小相同的球,其中6个黑球编号为1,2,3,4,5,6,4个白球编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,则下列结论中正确的是（ ）
A. 恰有3个白球的概率为$\frac{4}{35}$
B. 取出的最大号码X服从超几何分布
C. 设取出的黑球个数为Y,当Y = 2时,概率最大
D. 若取出一个白球记2分,取出一个黑球记1分,则总得分最大的概率为$\frac{1}{210}$

答案： **ACD** 【解析】对于A，由题意可知恰有3个白球的概率为 $\frac{C_{4}^{3}C_{6}^{1}}{C_{10}^{4}}=\frac{4}{35}$，故A正确；对于D，若取出一个白球记2分，取出一个黑球记1分，则总得分最大为取出4个白球，其概率为 $\frac{C_{4}^{4}C_{6}^{0}}{C_{10}^{4}}=\frac{1}{210}$，故D正确；对于B，因为取出的最大号码不是某两类对象中的一类对象，不满足超几何分布的定义，故X不服从超几何分布，故B错误；对于C，取出的黑球个数Y服从超几何分布，易知 $P(Y = 0)=\frac{1}{210}$，$P(Y = 1)=\frac{4}{35}$，$P(Y = 2)=\frac{C_{6}^{2}C_{4}^{2}}{C_{10}^{4}}=\frac{3}{7}$，$P(Y = 3)=\frac{C_{6}^{3}C_{4}^{1}}{C_{10}^{4}}=\frac{8}{21}$，$P(Y = 4)=\frac{C_{6}^{4}C_{4}^{0}}{C_{10}^{4}}=\frac{1}{14}$，显然当Y = 2时，概率最大，故C正确. 故选ACD.

4. [浙江部分学校2024高二联考]某高校实行提前自主招生,老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答,至少答对3个才能通过初试,已知某学生能答对这6个试题中的4个.
(1)求该学生能通过自主招生初试的概率;
(2)若该学生答对的题数为X,求X的分布列.

答案： 【解】
(1)该学生通过自主招生初试的概率 $P=\frac{C_{4}^{3}C_{2}^{1}}{C_{6}^{4}}+\frac{C_{4}^{4}}{C_{6}^{4}}=\frac{3}{5}$.
(2)由题知X的可能取值为2，3，4，则 $P(X = 2)=\frac{C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{C_{6}^{4}}=\frac{2}{5}$，$P(X = 3)=\frac{C_{4}^{3}C_{2}^{1}}{C_{6}^{4}}=\frac{8}{15}$，$P(X = 4)=\frac{C_{4}^{4}}{C_{6}^{4}}=\frac{1}{15}$，所以X的分布列为：
|X|2|3|4|
|----|----|----|----|
|P|$\frac{2}{5}$|$\frac{8}{15}$|$\frac{1}{15}$|

5. 教材变式在一次购物抽奖活动中,假设10张奖券中有一等奖奖券1张,可获得价值50元的奖品;有二等奖奖券3张,每张可获得价值10元的奖品;其余6张没有奖品.
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张,求中奖次数X的分布列.
(2)顾客乙从10张奖券中一次性抽取2张.
①求顾客乙中奖的概率;
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元,求Y的分布列.

答案： 【解】
(1)顾客甲抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况. 由题可知， $P(X = 1)=\frac{C_{4}^{1}}{C_{10}^{1}}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，则 $P(X = 0)=1 - P(X = 1)=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$. 因此随机变量X的分布列为：
|X|0|1|
|----|----|----|
|P|$\frac{3}{5}$|$\frac{2}{5}$|
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖和2张都中奖，故所求概率 $P=\frac{C_{4}^{1}C_{6}^{1}+C_{4}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$.
②由题可得，随机变量Y的所有可能取值为0，10，20，50，60， $P(Y = 0)=\frac{C_{6}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}$， $P(Y = 10)=\frac{C_{3}^{1}C_{6}^{1}}{C_{10}^{2}}=\frac{18}{45}=\frac{2}{5}$， $P(Y = 20)=\frac{C_{3}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}$， $P(Y = 50)=\frac{C_{1}^{1}C_{6}^{1}}{C_{10}^{2}}=\frac{6}{45}=\frac{2}{15}$， $P(Y = 60)=\frac{C_{1}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}}=\frac{3}{45}=\frac{1}{15}$. 因此随机变量Y的分布列为：
|Y|0|10|20|50|60|
|----|----|----|----|----|----|
|P|$\frac{1}{3}$|$\frac{2}{5}$|$\frac{1}{15}$|$\frac{2}{15}$|$\frac{1}{15}$|
**链接教材** 本题由教材第80页练习第1题改编而来，求服从超几何分布的随机变量分布列的步骤为：
第一步：验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，n，M的值；
第二步：根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；
第三步：用表格的形式列出分布列.