《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. [浙江宁波2024高二期中]若随机变量X的分布列为

则D(X)= ( )

A. 5
B. 7
C. 13.6
D. 14.6

答案： C 【解析】由题意得 $E(X)=2×0.2 + 3×0.2+10×0.6 = 7$，
所以 $D(X)=(2 - 7)^2×0.2+(3 - 7)^2×0.2+(10 - 7)^2×0.6 = 13.6$。故选 C。

2. [陕西渭南2023高二期末]已知某离散型随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=$\frac{3}{4}$,P(X≥1)=$\frac{7}{12}$,则D(X)= ( )

A. $\frac{15}{16}$
B. $\frac{9}{8}$
C. $\frac{19}{16}$
D. $\frac{5}{4}$

答案： C 【解析】由题意，得 $a + b + c+\frac{1}{3}=1$，\n点悟：根据分布列中概率和为 1 的性质得到
所以 $a + b + c=\frac{2}{3}$ ①。
因为 $E(X)=(-1)×a + 0×b + 1×c+2×\frac{1}{3}=\frac{3}{4}$，
所以 $-a + c=\frac{1}{12}$ ②。
由 $P(X\geq1)=c+\frac{1}{3}=\frac{7}{12}$，得 $c=\frac{1}{4}$，
代入①②解得 $a=\frac{1}{6},b=\frac{1}{4}$。
所以 $D(X)=(-1-\frac{3}{4})^2×\frac{1}{6}+(0 - \frac{3}{4})^2×\frac{1}{4}+(1 - \frac{3}{4})^2×\frac{1}{4}+(2 - \frac{3}{4})^2×\frac{1}{3}=\frac{19}{16}$。故选 C。

3. [山西太原2024高二期末]已知随机变量X₁,X₂均服从两点分布,且$\frac{1}{2}$＜p₂＜p₁＜1,则下列结论正确的是 ( )

A. E(X₁)＜E(X₂),D(X₁)＜D(X₂)
B. E(X₁)＜E(X₂),D(X₁)＞D(X₂)
C. E(X₁)＞E(X₂),D(X₁)＜D(X₂)
D. E(X₁)＞E(X₂),D(X₁)＞D(X₂)

答案： C 【解析】依题意，$E(X_1)=p_1,E(X_2)=p_2$，而 $\frac{1}{2}＜p_2＜p_1＜1$，则 $E(X_1)＞E(X_2)$；
$D(X_1)=(1 - p_1)^2p_1 + p_1^2(1 - p_1)=p_1(1 - p_1)$，同理 $D(X_2)=p_2(1 - p_2)$，
$D(X_1)-D(X_2)=p_1(1 - p_1)-p_2(1 - p_2)=(p_1 - p_2)(1 - p_1 - p_2)＜0$，
因此 $D(X_1)＜D(X_2)$。故选 C。

4. 随机变量X的分布列为

则下面四种情形中D(X)最小的一组是 ( )

A. p₁=p₄=0.1,p₂=p₃=0.4
B. p₁=p₄=0.4,p₂=p₃=0.1
C. p₁=p₄=0.2,p₂=p₃=0.3
D. p₁=p₄=0.3,p₂=p₃=0.2

答案： A 【解析】选项 A，$E(X)=1×0.1 + 2×0.4+3×0.4+4×0.1 = 2.5$，$D(X)=(1 - 2.5)^2×0.1+(2 - 2.5)^2×0.4+(3 - 2.5)^2×0.4+(4 - 2.5)^2×0.1 = 0.65$；
选项 B，$E(X)=1×0.4 + 2×0.1+3×0.1+4×0.4 = 2.5$，$D(X)=(1 - 2.5)^2×0.4+(2 - 2.5)^2×0.1+(3 - 2.5)^2×0.1+(4 - 2.5)^2×0.4 = 1.85$；
选项 C，$E(X)=1×0.2 + 2×0.3+3×0.3+4×0.2 = 2.5$，$D(X)=(1 - 2.5)^2×0.2+(2 - 2.5)^2×0.3+(3 - 2.5)^2×0.3+(4 - 2.5)^2×0.2 = 1.05$；
选项 D，$E(X)=1×0.3 + 2×0.2+3×0.2+4×0.3 = 2.5$，$D(X)=(1 - 2.5)^2×0.3+(2 - 2.5)^2×0.2+(3 - 2.5)^2×0.2+(4 - 2.5)^2×0.3 = 1.45$。
由以上知，$D(X)$最小的一组是选项 A。故选 A。

5. [黑龙江佳木斯一中2023高二期中]一盒中装有大小质地均相同的3个白球和2个红球,现从该盒中一次性任取2球,记随机变量X表示从该盒中取出的红球个数.
(1)求随机变量X的分布列;
(2)求随机变量X的期望和方差.

答案： 【解】
(1) 由题可知，随机变量 $X$ 所有可能的取值有 0，1，2，
所以 $P(X = 0)=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac{3}{10}$，
$P(X = 1)=\frac{C_3^1C_2^1}{C_5^2}=\frac{3}{5}$，
$P(X = 2)=\frac{C_2^2}{C_5^2}=\frac{1}{10}$，
所以随机变量 $X$ 的分布列为
| $X$ | 0 | 1 | 2 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| $P$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{10}$ |
(2) 由
(1)的分布列得 $E(X)=0×\frac{3}{10}+1×\frac{3}{5}+2×\frac{1}{10}=\frac{4}{5}$，
$D(X)=(0-\frac{4}{5})^2×\frac{3}{10}+(1 - \frac{4}{5})^2×\frac{3}{5}+(2 - \frac{4}{5})^2×\frac{1}{10}=\frac{9}{25}$。
特别注意 离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合与古典概型等知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别。

6. [河北部分学校2024高二联考]已知离散型随机变量ξ的分布列为

若E(ξ)=1,则D(3ξ + 1)= ( )

A. 2
B. 3
C. 6
D. 7

答案： C 【解析】由题意知 $m + n = 1-\frac{4}{9}-\frac{2}{9}=\frac{1}{3}$，
由 $E(\xi)=1$ 得 $0×m + 1×\frac{4}{9}+2×\frac{2}{9}+3n = 1$，解得 $n=\frac{1}{27},m=\frac{8}{27}$，
故 $D(\xi)=(0 - 1)^2×\frac{8}{27}+(1 - 1)^2×\frac{4}{9}+(2 - 1)^2×\frac{2}{9}+(3 - 1)^2×\frac{1}{27}=\frac{2}{3}$，\n巧思：也可利用 $D(\xi)=E(\xi^2)-(E(\xi))^2$ 求解
故 $D(3\xi + 1)=9D(\xi)=6$，故选 C。
规律方法 $E(aX + b)=aE(X)+b$，$D(aX + b)=a^2D(X)$。

7. 已知随机变量X,Y满足Y = aX + b,且a,b为正实数. 若D(X)=2,D(Y)=8,则 ( )
A. b = 2
B. a = 4
C. a = 2
D. b = 4

答案： C 【解析】由方差的性质可得 $D(Y)=D(aX + b)=a^2D(X)$。因为 $D(X)=2,D(Y)=8$，所以 $8 = 2a^2$。又 $a$ 为正实数，所以 $a = 2$。故选 C。

8. [浙江杭州重点中学2023高二期中]甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球,且均各自标号为1,2,3. 分别从两个盒子中随机取一个球,用X表示两球上数字之积,X的方差为D(X),则D(2X - 1)= ________.

答案： $\frac{208}{9}$ 【解析】由题意可得，$X$ 的所有可能取值为 1，2，3，4，6，9，
其分布列为
| $X$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 6 | 9 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $P$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{1}{9}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{1}{9}$ |
$\therefore E(X)=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}+\frac{6}{9}+\frac{4}{9}+\frac{12}{9}+\frac{9}{9}=4$，
$D(X)=\sum_{i = 1}^{6}[X_i - E(X)]^2·P_i=\frac{52}{9}$，
$\therefore D(2X - 1)=2^2×\frac{52}{9}=\frac{208}{9}$。