《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. [教材变式][湖北武汉华中师大一附中2024高二期中]$(1 - x)^{2n}(n\geq4,n\in N^{*})$的展开式中，与第8项的二项式系数相等的二项式系数是（ ）
A. 第$2n - 7$项
B. 第$2n - 6$项
C. 第$2n - 5$项
D. 第$2n - 4$项

答案： B　

2. [江西部分学校2024质量检测]已知$(x + \frac{2}{x})^{n}$的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为（ ）
A. 24
B. 18
C. 12
D. 6

答案： A

3. [重庆南开中学2023质量检测]若$(mx - 1)^{n}(n\in N^{*})$的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则共有不同的有序实数对$(m,n)$的组数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案： D

4. [山东聊城一中2023高二月考]在二项式$(\frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1)^{n}$的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等.
(1)求展开式中各项系数之和；
(2)求展开式中二项式系数最大的项；
(3)求展开式中的有理项.

答案： [解]
(1)依题意C_n^1=C_^7,由组合数的性质得n=8,
　令x=1,得展开式中各项系数之和为$(1−1)^8$=0.
(2)二项式$(\frac{1}{\sqrt [3]{x}}−1)^8$的展开式的通项为$T_{k+1}=C_8^k(x^{-\frac 13})^{8-k}·(−1)^k=C_8^k(-1)^k(x)^{\frac {k-8}{3}}$,k=0.,1.…..,8;,
　因为n=8,所以二项式$(\frac{1}{\sqrt [3]{x}}−1)^8$的展开式中二项式系数最大的项为$T_5=C_8^4(x^{-\frac {1}{3}})^4(−1)⁴=70x^{-\frac 43}$
(3)由
(2)可得二项式$(\frac{1}{\sqrt [3]{x}}−1)^8$的展开式的通项为$T_{k+1}=C_8^k(−1)^k(x^{-\frac 13})^{8-k}=C_8^k(-1)^k(x)^{\frac {k-8}{3}}$,k=
　0,1,...,8,
　令$\frac{k−8}{3}$∈Z,得k=2,5,8,
　当k=2时,$T_3=C_8^2(−1)²x^{\frac {2-8}{3}}=28x^{-2}$;
   当k=5时,$T_3=C_8^5(−1)^5x^{\frac {5-8}{3}}=56x^{-1}$;
   当k=8时,$T_3=C_8^8(−1)^8x^{\frac {8-8}{3}}=1$.
　综上所述，二项式$(\frac{1}{\sqrt [3]{x}}−1)^8$的展开式中的有理项为$28x^{-2},−56x^{-1}$,1.

5. 已知$C_{n}^{0}-4C_{n}^{1}+4^{2}C_{n}^{2}-4^{3}C_{n}^{3}+\cdots+(-1)^{n}4^{n}C_{n}^{n}=729$，则$C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+\cdots+C_{n}^{n}$的值等于（ ）
A. 64
B. 32
C. 63
D. 31

答案： C　

6. [黑龙江齐齐哈尔2024高二期末]已知$(2x^{2}-\frac{a}{x})^{n}$展开式的二项式系数和为128，且$x^{2}$的系数为280，则$a =$（ ）
A. 1
B. 2
C. $\pm1$
D. $\pm2$

答案： C　

7. (多选)在$(2x - 3y)^{10}$的展开式中，下列结论正确的有（ ）
A. 二项式系数的和为$2^{10}$
B. 各项系数的和为$2^{10}$
C. 奇数项系数的和为$\frac{1 + 5^{10}}{2}$
D. 二项式系数最大的项为$-6^{5}C_{10}^{5}x^{5}y^{5}$

答案： ACD　

8. [浙江杭州外国语2024高二期中]已知$(2x + \frac{a}{x})^{n}$的展开式中，所有二项式系数的和为32.
(1)求$n$的值；
(2)若展开式中$\frac{1}{x}$的系数为80，求$a$的值.

答案： [解]
(1)
∵(2x+$\frac{a}{x}$”的展开式中,所有二项式系数的和为32,
∴2”=32,
∴n=5.
(2))二项式(2x+$\frac{a}{x}$5展开式的通项为T1=C(2x)(($\frac{a}{x}$=C2⁵−a²x⁵−2 (r=0,1,2,...,5),
　令5−2r=−1,解得r=3,
∴展开式中$\frac{1}{x}$的系数为C²2²a²=80,
∴a²=2,则a=茅2.