《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. [黑龙江哈三中2024高二期末]经哈三中数学组集体备课研究,预计每周(五天)安排8节数学课,每天至少1节,则不同的安排方法有 ( )
A. 35种
B. 126种
C. 495种
D. 1 001种

答案： A 【解析】将8节数学课当作8个排成一列的相同小球，这8个球之间共有7个空隙，从中选出4个空隙放入挡板，正好将这8个球分隔成5份，每份中球的个数分别对应每周五天每天安排的数学课节数，则所求的不同安排方法共有$C_{7}^{4}=35$种. 故选A.

2. [江西吉安六校2024联考]为营造欢乐节日气氛、传承传统习俗,同时又要确保公共安全,某市决定春节期间对烟花爆竹燃放实施“禁改限”,规定可以在农历正月初一到初六及十五在市区A,B两个规定区域燃放烟花爆竹. 甲、乙两人各自决定从这7天选1天去A,B中的一个区域燃放烟花爆竹. 若甲、乙两人不在同一天去同一个地方,则不同的去法种数为 ( )
A. 35
B. 84
C. 91
D. 182

答案： D 【解析】甲、乙两人不在同一天去同一个地方的种数为$C_{7}^{1}×2×C_{6}^{1}×2 - 7×2 = 182$. 故选D.
**敲黑板**：正难则反

3. (多选)[江苏镇江八校2024高二联考]在4张奖券中,一、二、三、四等奖各1张,将这4张奖券分给甲、乙、丙、丁四个人,每人至多2张,则下列结论正确的是 ( )
A. 若甲、乙、丙、丁均获奖,则共有24种不同的获奖情况
B. 若甲获得了一等奖和二等奖,则共有6种不同的获奖情况
C. 若仅有两人获奖,则共有36种不同的获奖情况
D. 若仅有三人获奖,则共有144种不同的获奖情况

答案： ACD 【解析】对于A，若甲、乙、丙、丁均获奖，则共有$A_{4}^{4}=24$种不同的获奖情况，A正确；
对于B，若甲获得了一等奖和二等奖，则其他三人有一人获得2个奖项或有两人各获得1个奖项，共有$A_{3}^{1}+A_{3}^{2}=9$种不同的获奖情况，B错误；
对于C，若仅有两人获奖，则有两人各获得2个奖项，共有$\frac{C_{4}^{2}C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}}A_{4}^{2}=36$种不同的获奖情况，C正确；
对于D，若仅有三人获奖，则有一人获得2个奖项，有两人各获得1个奖项，共有$C_{4}^{1}A_{4}^{3}=144$种不同的获奖情况，D正确. 故选ACD.
**归纳总结**：解决排列组合问题的一般思路
（1）认真审题，弄清楚要做什么事情；
（2）要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及分多少类；
（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少元素.

4. (多选)[山东聊城一中2023高二月考]现有一场流水席,共有六荤四素二汤共十二道菜品在长桌上摆成一排,下列说法正确的是 ( )
A. 两份汤相邻的摆法共有$A_{10}^{10}C_{2}^{1}$种
B. 每道素菜不相邻的摆法共有$A_{8}^{8}A_{9}^{4}$种
C. 若十二道菜品的顺序已经固定,现又上了四道主食,有$A_{16}^{4}$种不同摆法
D. 两汤不摆在首尾的摆法共有$A_{10}^{2}A_{10}^{10}$种

答案： BCD 【解析】对于A，先将两份汤捆绑在一起，看作一个整体，有$A_{2}^{2}$种摆法，再与其余十道菜品排列在一起，有$A_{11}^{11}$种摆法，所以两份汤相邻的摆法共有$A_{2}^{2}A_{11}^{11}$种，故A错误；
对于B，先将六荤二汤共八道菜品进行排列，有$A_{8}^{8}$种摆法，再利用插空法将四道素菜插到上述八道菜品形成的9个空中，有$A_{9}^{4}$种摆法，所以每道素菜不相邻的摆法共有$A_{8}^{8}A_{9}^{4}$种，故B正确；
对于C，先将十六道菜品进行排列，有$A_{16}^{16}$种摆法，其中十二道菜品的顺序已经固定，利用定序倍缩法可知有$\frac{A_{16}^{16}}{A_{12}^{12}}=A_{4}^{16}$种不同摆法，故C正确；
对于D，将十二道菜品看作12个空，去掉首尾两个空还有10个空，在其中任选两个空将两份汤放进去，共有$A_{10}^{2}$种方法，再将剩余的十道菜品排列到剩余的10个空中，共有$A_{10}^{10}$种方法，所以两汤不摆在首尾的摆法共有$A_{10}^{2}A_{10}^{10}$种，故D正确. 故选BCD.
**敲黑板**：当元素对位置有要求时，可先固定位置，然后再放元素

5. 如图所示,某人从A按最短路径走到B,其中PQ段道路施工,不能通行,则共有__________种不同的行走路线.

答案： 52 【解析】从A按最短路径走到B，共有$C_{8}^{4}=70$（种）方法，其中从A按最短路径走到P，有$C_{4}^{2}=6$（种）方法，从Q按最短路径走到B，有$C_{3}^{1}=3$（种）方法，所以走PQ段，从A按最短路径走到B，有$6×3 = 18$（种）方法，所以不走PQ，共有$70 - 18 = 52$（种）不同的走法.

6. [湖北武汉2024高二期中]某中学举行教职工排球比赛,赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍,每支队伍五人,并要求每支队伍至少有两名女老师,现高二年级共有4名男老师,6名女老师报名参加比赛.
(1)高二年级一共有多少种不同的分组方案?
(2)在进入决赛后,每个年级只派出一支队伍参加决赛,在比赛时须按照1,2,3,4,5号位站好,为争取最好成绩,高二年级选择了A,B,C,D,E,F六名女老师进行训练,经训练发现E不能站在5号位. 若A,B同时上场,则必须站在相邻的位置,求六名女老师训练时一共有多少种排列方式?

答案： 【解】
（1）高二年级队伍的分配方案有两类：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女.
①若两组都是3女2男，则有$\frac{C_{6}^{3}C_{4}^{2}}{A_{2}^{2}}=60$种分组方案；
**敲黑板**：因为分成的两组都是3女2男，属于均匀分组，所以要除以$A_{2}^{2}$
②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有$C_{4}^{1}·C_{6}^{4}·C_{3}^{3}·C_{2}^{2}=60$种.
综上，共有$60 + 60 = 120$种不同的分组方案.
（2）总共可分为如下三种情况.
①A，B上场且E不上场：
先将A，B全排列，有$A_{2}^{2}$种方法，再把A，B捆绑后和C，D，F全排列有$A_{4}^{4}$种方法，所以A，B上场且E不上场共有$A_{2}^{2}×A_{4}^{4}=48$种不同的排列方式.
②A，B上场且E也上场：
（i）若E在1号位，先将A，B全排列，有$A_{2}^{2}$种方法，再从C，D，F中选两人，有$C_{3}^{2}$种方法，则A，B捆绑后和从C，D，F中选出的两人全排列，有$A_{3}^{3}$种方法，所以E在1号位共有$A_{2}^{2}×C_{3}^{2}×A_{3}^{3}=36$种不同的排列方式；
（ii）若E在2号位，先将A，B全排列，则A，B可位于3，4号位或4，5号位，共有$A_{2}^{2}×2$种方法，再从C，D，F中选两人进行排列，有$A_{3}^{2}$种方法，所以E在2号位共有$A_{2}^{2}×2×A_{3}^{2}=24$种不同的排列方式；
（iii）若E在3号位，先将A，B全排列，则A，B可位于1，2号位或4，5号位，共有$A_{2}^{2}×2$种方法，再从C，D，F中选两人进行排列，有$A_{3}^{2}$种方法，所以E在3号位共有$A_{2}^{2}×2×A_{3}^{2}=24$种不同的排列方式；
（iv）若E在4号位，先将A，B全排列，则A，B可位于1，2号位或2，3号位，共有$A_{2}^{2}×2$种方法，再从C，D，F中选两人进行排列，有$A_{3}^{2}$种方法，所以E在4号位共有$A_{2}^{2}×2×A_{3}^{2}=24$种不同的排列方式.
所以A，B上场且E也上场共有$36 + 24 + 24 + 24 = 108$种不同的排列方式.
③A，B中有一人上场且E上场：
E上场且不在5号位，则E可位于1，2，3，4号位，有$C_{4}^{1}$种方法，再从A，B中选一人，有$C_{2}^{1}$种方法，A，B中的一人和C，D，F共4人全排列，有$A_{4}^{4}$种方法，所以A，B中有一人上场且E上场共有$C_{4}^{1}×C_{2}^{1}×A_{4}^{4}=192$种不同的排列方式.
综上所述，共有$48 + 108 + 192 = 348$种不同的排列方式.
**名师点拨**：本题考查排列、组合的综合应用，两种计数原理的运用. 排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列. 其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.

7. [北京大学2023强基计划]集合$U = \{1,2,3,\cdots,10\}$,则U的三元子集中元素两两互素的集合的个数为________.

答案： 42 【解析】若所选元素为三个奇数，则共有$C_{5}^{3}=10$（个）三元子集，同时选3，9的三元子集有{1,3,9}，{5,3,9}，{7,3,9}，这三个子集不符合题意，从而符合题意的三元子集有$10 - 3 = 7$（个）；
若所选的元素为两个奇数，一个偶数，
**避坑**：奇数与奇数之间，奇数与偶数之间存在不互质的情况，要分别讨论，去掉不符合要求的情况
则共有$C_{5}^{2}C_{5}^{1}=50$（个）三元子集，若所选的奇数为3，9，此时有5个三元子集不符合题意，若所选的奇数为3，偶数为6，另一个奇数为1，5，7时，此时有3个三元子集不符合题意，若所选的奇数为9，偶数为6，另一个奇数为1，5，7时，此时有3个三元子集不符合题意，若所选的奇数为5，偶数为10，另一个奇数为1，3，7，9时，此时有4个三元子集不符合题意.
综上，共有$7+(50 - 5 - 3 - 3 - 4)=42$（个）三元子集符合题意.

8. [2024重庆高中数学联赛(初赛)]由1,2,$\cdots$,9这九个正整数构成的所有圆排列(循环排列)中,任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为________.

答案： 21 600 【解析】一个圆排列满足要求当且仅当该排列中8，9与7，9这两对数均不相邻. 设满足8，9相邻的圆排列有$N_{1}$个，满足7，9相邻的圆排列有$N_{2}$个，满足8，9相邻且7，9相邻的圆排列有$N_{3}$个，则$N_{1}=N_{2}=A_{2}^{2}·7!$，$N_{3}=A_{2}^{2}·6!$，从而
**点悟**：不考虑限制条件，m个相异元素的圆排列的个数为$(m - 1)!$
由容斥原理，满足要求的排列的个数$N = 8!-(N_{1}+N_{2}-N_{3})=21 600$.