《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

12. [山西省实验中学2023高二月考]有10个相同的小球,现全部分给甲、乙、丙3人. 若甲至少得1球,乙至少得2球,丙至少得3球,则他们所得的球数的不同情况有________种.

答案： 15【解析】首先分给甲1个球，乙2个球，丙3个球，还剩下4个球。①4个球分给1个人，有3种分法。②4个球分给2个人，有两种情况，1人3个、1人1个，有A₂² = 6（种）分法；2人都是2个，有3种分法。③4个球分给3个人，只有1,1,2这种情况，有3种分法。按照分类加法计数原理可得，一共有3 + 6 + 3 + 3 = 15（种）分法。
多种解法：先给乙1个球，给丙2个球，则题目转化为有7个相同的小球，现全部分给甲、乙、丙3人，每人至少1个球，可将7个球排成一列，在排除两端的6个空位中，插入2个隔板即可，共有C₆² = 15（种）分法。

13. 方程x + y + z = 9(x≥1,y≥2,z≥3)的整数解有________组.

答案： 10【解析】方程x + y + z = 9的正整数解的组数等价于甲、乙、丙三人分9个相同的球，且甲至少得1个，乙至少得2个，丙至少得3个，那么先给甲、乙、丙分别1个，2个，3个球，然后对剩下3个球进行分配，分配给一个人，有3种分法；分配给2个人，一人2个，一人1个，有A₂² = 6（种）分法；分配给3个人，即每人都是1个，有1种分法，故共有3 + 6 + 1 = 10（种）分法，故答案为10。

14. [浙江杭州外国语2024高二期中]将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动,每名医生只去一个社区,每个社区至少1人,则不同的分配方法种数为( )
A. 50
B. 150
C. 240
D. 300

答案： B【解析】先将5名医生分成三组，可分组为1,1,3或1,2,2两种情况。若分组为1,1,3，则有C₅³A₃³ = 60种不同的分配方法；若分组为1,2,2，则有(C₅²C₃²/A₂²)A₃³ = 90种不同的分配方法。则不同的分配方法种数为60 + 90 = 150。故选B。

15. [河北石家庄七县2024高二联考]哈尔滨是假期旅游的热门城市之一. 甲、乙等6名主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩. 若每个景点至少有一个主播去打卡游玩,每位主播都会选择一个景点打卡游玩,且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩,则不同游玩方法有( )
A. 96种
B. 132种
C. 168种
D. 204种

答案： C【解析】依题意知，除甲、乙外的其余4位主播有两种分组情况：①3位主播去一个景点，1位主播去另外一个景点；②分别都是2位主播去一个景点。所以不同游玩方法有C₄³A₄⁴ + (C₄²C₂²/A₂²)·A₄⁴ = 168（种）。
**避坑**：完全均匀分组要除以组数的阶乘再分配。故选C。
**归纳总结**：不同元素分组分配问题，往往是先分组再分配。在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②完全均匀分组；③部分均匀分组。特别注意均匀分组需要除以对应均分组数的阶乘，并注意区分分组分配的是相同元素还是不同元素，两种题型解题方法截然不同。

16. [安徽六安2024高二期中]有6本不同的书,在下列不同的条件下,各有多少种不同的分法?
(1)分给甲、乙、丙3人,其中一个人1本,一个人2本,一个人3本;
(2)分成三组,一组4本,另外两组各1本;
(3)甲得1本,乙得1本,丙得4本.

答案： 【解】
（1）先将6本不同的书分成1本，2本，3本，有C₆¹C₅²C₃³种分法，再将分好的书分配给甲、乙、丙3人，有A₃³种分法，故共有C₆¹C₅²C₃³A₃³ = 360（种）不同的分法。
（2）只需从6本中选4本为一组，其余2本为两组，共有C₆⁴ = 15（种）不同的分法。
（3）分步处理，先从6本中选4本给丙，其余2本分给甲、乙各1本，共有C₆⁴A₂² = 30（种）不同的分法。
**规律方法**：n个不同的元素按某些条件分配给k个不同的对象是分配问题，解决此类问题，常先分组后分配。

17. [陕西咸阳实验中学2024高二月考]某次联欢会要安排3个歌舞类节目A₁,A₂,A₃,2个小品类节目B₁,B₂和1个相声类节目C的演出顺序,根据要求解答下列问题(最终结果用数字表示).
(1)若两个小品类节目B₁,B₂不能排在第一位和最后一位,一共有多少种排法?
(2)若歌舞类节目A₁,A₂必须排在一起,A₃和B₁,B₂排在一起,并且A₃在B₁,B₂中间,一共有多少种排法?
(3)若同类节目不相邻,请问一共有多少种排法?

答案： 【解】
（1）因为总共有六个位置，两个小品类节目B₁，B₂不能排在第一位和最后一位，先将B₁，B₂排好，则有A₄²种排法，剩下四个节目排在剩余的四个位置，有A₄⁴种排法，故共有A₄²A₄⁴ = 288种排法。
（2）将A₁，A₂看作一个整体，A₃，B₁，B₂看作一个整体，再与剩下的C进行全排，则有A₃³种排法，A₁，A₂必须排在一起有A₂²种排法，A₃在B₁，B₂中间有A₂²种排法，故共有A₃³A₂²A₂² = 24种排法。
（3）分两步完成：第一步，先安排3个歌舞类节目A₁，A₂，A₃，则有A₃³种排法；第二步，再用插空法安排2个小品类节目B₁，B₂和1个相声类节目C：①若2个小品类节目B₁，B₂和1个相声类节目C互不相邻，则有2A₃³种排法；②若C与B₁，B₂中的一个相邻，则有C₂¹A₂²A₂²种排法。故共有A₃³(2A₃³ + C₂¹A₂²A₂²) = 120种排法。

18. [江苏连云港2023高二期中]若xCₓˣ⁻¹ + Aₓ³ = 4Cₓ⁺¹³,则x的值为________.

答案： 4【解析】由已知条件可得x² + x(x - 1)(x - 2) = (2x(x - 1)(x + 1))/3，x≥3，整理得x² - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4) = 0，可得x = 2或x = 4，又x≥3，故x = 4。
**易错警示**：
（1）排列数Aₙᵐ和组合数Cₙᵐ均需要满足m≤n；
（2）应用Cₙᵐ = Cₙᵖ可以得到m = p或m + p = n两种情况。切忌只考虑两者相等的情况，而忽略了m + p = n的情况，从而导致错误。

19. 有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球排成一排,不同的排列方法有________种.

答案： 56【解析】8个小球排好后对应着8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这3个红球完全相同，所以没有顺序，是组合问题，共有C₈³ = 56（种）排法。
**易错警示**：本题是相同元素的排列问题，可以看作是一个组合问题，本题的易错之处是忽视红球与白球的区别，误认为是排列问题而出错。

20. 有乒乓球运动员9人,其中有4名男运动员,5名女运动员,现从中选4人进行男女混合双打比赛,那么配对情况有________种.

答案： 120【解析】因为选4人参加男女混合双打比赛，所以男、女运动员各2名。第一步，从4名男运动员中选2人，有C₄²种方法；第二步，从5名女运动员中选2人，有C₅²种方法；第三步，将选出的2男2女进行1男1女的配对，有A₂²种方法。所以配对情况共有C₄²×C₅²×A₂² = 120（种）。
**易错警示**：在求解第三步容易混淆排列和组合问题产生错误，在处理排列组合问题时，要仔细审题，根据题设条件判断是排列问题还是组合问题，勿因混淆两个概念而造成错误。

21. [湖南湘潭2023高二期末联考]从4名男生和2名女生中选出3名志愿者,其中至少有1名男生和1名女生的选法共有( )
A. 16种
B. 20种
C. 24种
D. 36种

答案： A【解析】3名志愿者为1名男生，2名女生时，选法的种数为C₄¹C₂² = 4；3名志愿者为2名男生，1名女生时，选法的种数为C₄²C₂¹ = 12。所以根据分类加法计数原理可知，至少有1名男生和1名女生的选法共有4 + 12 = 16（种）。故选A。
**易错警示**：常见错解：先选1名男生和1名女生，共C₄¹C₂¹ = 8（种），然后再在剩余男女生（共4人）中选一名共C₄¹ = 4（种），最后利用分步乘法计数原理得有8×4 = 32（种）。此法错误在于重复计数，如“先选男生A女生B，再选男生C”与“先选男生C女生B，再选男生A”实际上是同一种组合。

22. (原创)A,B,C,D,E,5个人排成一列,A不在首位且B不在末位的排法共有________种.

答案： 78【解析】考虑A的位置，分两种情况：若A在末位，则B有4种排法，C，D，E有A₃³种排法，共有4A₃³ = 24（种）排法；若A不在末位，则A有3种排法，B有3种排法，C，D，E有A₃³种排法，共有3×3A₃³ = 54（种）排法。综上，共有24 + 54 = 78（种）排法。
**易错警示**：本题的常见错解是认为此问题的反面是A在首位且B在末位，而实际上该问题的反面是A在首位或B在末位。