《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

8. [河北唐山2024高二月考]已知$P(M)=0.4$，$P(\overline{N}|M)=0.5$，则$P(MN)=$ （ ）
A. 0.4
B. 0.6
C. 0.1
D. 0.2

答案： D 【解析】因为$P(\overline{N}|M)=0.5$，由对立事件概率计算公式可得$P(N|M)=1 - 0.5 = 0.5$，则$P(MN)=P(M)\cdot P(N|M)=0.4×0.5 = 0.2$，故选D。

9. (多选) [山东临沂2023高二期中]已知$A$，$B$是两个事件，且$P(A)＞0$，$P(B)＞0$，则下列结论一定成立的是 （ ）
A. $P(A|B)＜P(B)$
B. 若$P(B|A)+P(\overline{B}) = 1$，则$A$与$B$独立
C. 若$A$与$B$独立，且$P(\overline{A}) = 0.4$，则$P(A|B)=0.6$
D. 若$A$与$B$独立，且$P(AB)=\frac{4}{9}$，$P(B)=\frac{5}{9}$，则$P(\overline{A}|B)=\frac{4}{5}$

答案： BC 【解析】对于A：因为$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$，当A与B相互独立时，$P(AB)=P(A)P(B)$，此时$P(A|B)=P(A)$，由于无法确定$P(A)$，$P(B)$的大小关系，故无法确定$P(A|B)$与$P(B)$的大小关系，故A错误。对于B：因为$P(B|A)+P(\overline{B}) = 1$，则$\frac{P(AB)}{P(A)}+1 - P(B)=1$，所以$\frac{P(AB)}{P(A)}=P(B)$，即$P(AB)=P(A)P(B)$，所以A与B独立，故B正确。对于C：若A与B独立，则$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)P(B)}{P(B)}=P(A)$，又$P(\overline{A})=0.4$，所以$1 - P(A)=0.4$，则$P(A)=0.6$，即$P(A|B)=0.6$，故C正确。对于D：因为A与B独立，且$P(AB)=\frac{4}{9}$，$P(B)=\frac{5}{9}$，所以$P(A)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{4}{5}$，所以$P(\overline{A}|B)=1 - P(A|B)=1 - P(A)=\frac{1}{5}$，故D错误。故选BC。

10. [江西景德镇2024高二月考]一个不透明的箱子装有若干个除颜色外完全相同的红球和黄球. 若第一次摸出红球的概率为$\frac{2}{5}$，在第一次摸出红球的条件下，第二次摸出黄球的概率为$\frac{1}{2}$，则第一次摸出红球且第二次摸出黄球的概率为 （ ）
A. $\frac{1}{10}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{3}{5}$

答案： B 【解析】记事件A = “第一次摸出红球”，事件B = “第二次摸出黄球”，则$P(A)=\frac{2}{5}$，$P(B|A)=\frac{1}{2}$，由概率的乘法公式得$P(AB)=P(B|A)\cdot P(A)=\frac{1}{2}×\frac{2}{5}=\frac{1}{5}$，故选B。

11. [黑龙江哈三中2024高二期中]某地区气象台统计，该地区下雨的概率为$\frac{2}{13}$，已知下雨的条件下，刮风的概率为$\frac{5}{12}$，则既刮风又下雨的概率为________.

答案： $\frac{5}{78}$ 【解析】设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮风，由题意得，$P(A)=\frac{2}{13}$，$P(B|A)=\frac{5}{12}$，由概率的乘法公式得$P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)=\frac{2}{13}×\frac{5}{12}=\frac{5}{78}$。

12. 一批产品中有4%的次品，而合格品中一等品占45%. 从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率.

答案： 【解】设事件A表示“取出的产品是一等品”，事件B表示“取出的产品是合格品”，则$P(A|B)=45\%$，$P(\overline{B})=4\%$，于是$P(B)=1 - P(\overline{B})=96\%$，所以$P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)=96\%×45\% = 43.2\%$。

13. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为 （ ）
A. $\frac{21}{44}$
B. $\frac{15}{22}$
C. $\frac{21}{50}$
D. $\frac{9}{25}$

答案： A 【解析】根据题意，记“射击一次甲击中目标”为事件A，“射击一次乙击中目标”为事件B，“目标被击中”为事件C，则$P(C)=1 - P(\overline{A})P(\overline{B})=1-(1 - 0.6)×(1 - 0.7)=0.88$。目标被击中包括甲乙都击中、甲击中乙未击中、甲未击中乙击中，计算较复杂，利用对立事件计算更简单。在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为$P(AB|C)=\frac{P(ABC)}{P(C)}=\frac{0.6×0.7}{0.88}=\frac{21}{44}$。故选A。

14. (多选) [山东枣庄2023高二月考]某校开展“音乐浸润，尚美育人”知识竞赛，甲组有8名选手，其中5名男生，3名女生；乙组有8名选手，其中4名男生，4名女生. 现从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，$A_1$表示事件“从甲组抽取的是男生”，$A_2$表示事件“从甲组抽取的是女生”，$B$表示事件“从乙组抽取1名女生”，则 （ ）
A. $A_2$，$B$不是独立事件
B. $P(B)=\frac{35}{72}$
C. $P(\overline{B}|A_1)=\frac{4}{9}$
D. $P(B|A_2)=\frac{5}{9}$

答案： ABD 【解析】对于A，从甲组随机抽取1人加入乙组，再从乙组随机抽取1人，则$A_{2}$事件会影响B事件的概率，故$A_{2}$，B不是独立事件，故A正确；对于B，$P(B)=\frac{5}{8}×\frac{4}{9}+\frac{3}{8}×\frac{5}{9}=\frac{35}{72}$，故B正确；对于C，当$A_{1}$发生时，这时乙组有5男4女，从中抽取一个不是女生的概率为$\frac{5}{9}$，故$P(\overline{B}|A_{1})=\frac{5}{9}$，故C错误；对于D，当$A_{2}$发生时，这时乙组有4男5女，从中抽取一个是女生的概率为$\frac{5}{9}$，故$P(B|A_{2})=\frac{5}{9}$，故D正确。故选ABD。

15. 袋中有6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，做不放回抽样，每次抽取一球，取两次，则第二次才能取到黄球的概率为________.

答案： $\frac{4}{15}$ 【解析】记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“第二次才取到黄球”为事件C，所以$P(C)=P(AB)=P(A)\cdot P(B|A)=\frac{4}{10}×\frac{6}{9}=\frac{4}{15}$。