《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

6. [河南南阳六校2024高二联考]为了解学生对科普的关注度(关注或不关注)，对本校学生随机做了一次调查，结果显示被调查的男、女生人数相同，其中有$\frac{5}{6}$的男生“关注”，有$\frac{2}{3}$的女生“关注”，若依据小概率值$\alpha = 0.001$的独立性检验，认为学生对科普的关注度与性别有关联，则调查的总人数最少为________.
参考公式：$\chi^{2}=\frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$，$n=a + b + c + d$.

答案： 300【解析】设男、女生人数均为$x(x\in N^{*})$，可得如下$2\times2$列联表：
| |关注|不关注|合计|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|男生|$\frac{5x}{6}$|$\frac{x}{6}$|$x$|
|女生|$\frac{2x}{3}$|$\frac{x}{3}$|$x$|
|合计|$\frac{3x}{2}$|$\frac{x}{2}$|$2x$|
依题意，$\chi^{2}=\frac{2x(\frac{5x}{6}\cdot\frac{x}{3}-\frac{2x}{3}\cdot\frac{x}{6})^{2}}{x^{2}\cdot\frac{3x}{2}\cdot\frac{x}{2}}=\frac{2x}{27}\geq10.828$，
→敲黑板：依据小概率值$\alpha = 0.001$的独立性检验认为有关联，则$\chi^{2}$的值必须大于0.001对应的临界值。
因此$2x\geq292.356$，显然$x$必须为6的整倍数，$2x$必须为12的整倍数，则$(2x)_{min}=300$，所以调查的总人数最少为300。

7. [河北唐山2023高二期末]随着互联网发展，网络已成为人们日常学习、工作和生活中不可或缺的部分，互联网在带给人们生活便捷与高效工作的同时，网络犯罪也日益增多，为了防范网络犯罪与网络诈骗，学校举办“网络安全宣传倡议”活动. 某学校从全体学生中随机抽取了400人对“网络安全宣传倡议”的了解情况进行问卷调查，统计结果如下表所示.

（1）根据所提供的数据，完成2×2列联表，并依据小概率值$\alpha = 0.005$的独立性检验，能否认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关?
（2）对了解“网络安全宣传倡议”的人按性别用分层随机抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记$X$为抽取的3人中女生的人数，求$X$的分布列和数学期望.
参考公式：$\chi^{2}=\frac{n(ad - bc)^{2}}{(a + b)(c + d)(a + c)(b + d)}$，其中$n=a + b + c + d$.
参考数据：

答案： 【解】
(1)根据题意，得到$2\times2$列联表如下：
| |男|女|合计|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|了解|150|90|240|
|不了解|70|90|160|
|合计|220|180|400|
零假设为$H_{0}$：对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别无关联。
根据列联表中数据，可以求得$\chi^{2}=\frac{400\times(150\times90 - 90\times70)^{2}}{240\times160\times220\times180}=\frac{150}{11}\approx13.636＞7.879 = x_{0.005}$，根据小概率值$\alpha = 0.005$的独立性检验，我们推断$H_{0}$不成立，即认为对“网络安全宣传倡议”的了解情况与性别有关。
(2)从男生中抽取$8\times\frac{150}{150 + 90}=5$（人），从女生中抽取$8\times\frac{90}{150 + 90}=3$（人）。
则$X$的所有可能取值为0，1，2，3，
$P(X = 0)=\frac{C_{5}^{3}}{C_{8}^{3}}=\frac{5}{28}$，
$P(X = 1)=\frac{C_{5}^{2}C_{3}^{1}}{C_{8}^{3}}=\frac{15}{28}$，
$P(X = 2)=\frac{C_{5}^{1}C_{3}^{2}}{C_{8}^{3}}=\frac{15}{56}$，
$P(X = 3)=\frac{C_{3}^{3}}{C_{8}^{3}}=\frac{1}{56}$，
$X$的分布列为
|$X$|0|1|2|3|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|$P$|$\frac{5}{28}$|$\frac{15}{28}$|$\frac{15}{56}$|$\frac{1}{56}$|
所以$E(X)=0\times\frac{5}{28}+1\times\frac{15}{28}+2\times\frac{15}{56}+3\times\frac{1}{56}=\frac{9}{8}$。

8. 下列关于独立性检验的说法中，错误的是 （ ）
A. 独立性检验依据小概率原理
B. 独立性检验原理得到的结论一定正确
C. 样本不同，独立性检验的结论可能有差异
D. 独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法

答案： B【解析】因为利用独立性检验时与样本的选取有关，所以得到的结论可能有误，因此B中说法错误。故选B。

9. 在独立性检验中，假设变量$X$与变量$Y$无关联，则在假设成立的情况下，估算概率$P(\chi^{2}\geqslant10.828)\approx0.001$表示的意义是 （ ）
A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“变量$X$与变量$Y$有关联”
B. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“变量$X$与变量$Y$无关联”
C. 有99.9%的把握认为“变量$X$与变量$Y$无关联”
D. 有99.9%的把握认为“变量$X$与变量$Y$有关联”

答案： D【解析】$\because$概率$P(\chi^{2}\geq10.828)\approx0.001$，$\therefore$两个变量有关联的可信度是$1 - 0.001 = 99.9\%$。
★易错警示：对独立性检验的结果进行描述时，要注意区分“在犯错误概率不超过$\alpha$的前提下”与“有$1-\alpha$以上的把握”的区别，同时要注意判断两个变量是有关还是无关。