《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. (多选)[重庆部分学校2024高二期中联考]给出下面几个问题,其中是组合问题的有( )
A. 由1,2,3,4构成的含有2个元素的集合的个数
B. 五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C. 由1,2,3组成两位数的个数
D. 由1,2,3组成的无重复数字的两位数的个数

答案： AB【解析】对于A，集合中的元素是无序的，即集合{1,2}与集合{2,1}是相同的集合，故A选项为组合问题。对于B，五个队进行单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，例如：1队与2队，1队与3队，1队与4队，1队与5队，2队与3队，2队与4队，2队与5队，3队与4队，3队与5队，4队与5队，故B选项为组合问题。对于C，如选1,2两个数字，则有两位数12，或者两位数21，很明显21和12是满足要求的两个不同的组合，为排列问题；如选重复数字组成两位数，11,22,33，则不需要考虑顺序，为组合问题，故C选项中既有排列也有组合。对于D，由1,2,3组成的无重复数字的两位数需要考虑顺序，故D选项为排列问题。故选AB。
**规律方法**：判断一个问题是否为组合问题，关键是判断问题是否与顺序有关，可以结合条件理解，也可以选择一个结果，交换这个结果中两个对象的先后顺序，看是否对结果产生影响，若无影响，则是组合问题。总之，若与顺序有关，则是排列问题；若与顺序无关，则是组合问题。

2. [吉林长春东北师大附中2023高二期中]某班开展一次小组探究活动,需要从3个男生和2个女生中选取2个人作为代表发言,则不同选法的种数是( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 20

答案： C【解析】由题意知从3个男生和2个女生中选取2个人作为代表发言，则不同选法的种数是C₂⁵ = 10，故选C。

3. [江苏南京金陵中学2024高二期末]若关于x的不等式x² - 2x - m＞0的解集为{x|x＜-2或x＞n},则Cₙᵐ =( )
A. 70
B. 90
C. 180
D. 495

答案： A【解析】关于x的不等式x² - 2x - m＞0的解集为{x|x＜-2或x＞n}，则有{-2 + n = 2, -2n = -m}，得{n = 4, m = 8}，故Cₘⁿ = C₈⁴ = 70。故选A。

4. (多选)下列等式正确的是( )
A. Cₙʳ + Cₙʳ⁺¹ = Cₙ⁺¹ʳ⁺¹
B. Cₙᵐ = Cₙⁿ⁻ᵐ
C. Cₙᵐ = (m + 1)/(n + 1)Cₙ⁺¹ᵐ
D. Aₙ⁺¹ᵐ⁺¹ - Aₙᵐ = n²Aₙ⁻¹ᵐ⁻¹

答案： ABD

5. [安徽合肥2023高二期中]若A$_{n+1}$² - Cₙⁿ⁻² = 27,则n = ________.

答案： 6【解析】因为A$_{n+1}$²  = (n + 1)n，Cₙⁿ⁻² = Cₙ² = (n(n - 1))/2，所以A$_{n+1}$² - Cₙⁿ⁻² = (n + 1)n - (n(n - 1))/2 = (n² + 3n)/2 = 27，得n = -9（舍去）或n = 6。

6. 翼云机场计划2025年通航,初期将开通向北至沈阳、哈尔滨;向南至昆明、深圳;向西至兰州、银川的六条航线. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人各选择一条不同航线体验,已知甲不去沈阳、哈尔滨,乙和丙乘坐同一方向的航班,则不同的体验方案有( )
A. 56种
B. 72种
C. 96种
D. 144种

答案： C【解析】由题意，共6个城市，3个方向，甲不去沈阳、哈尔滨，有C₄¹种方案，乙和丙乘坐同一方向的航班，有C₂¹A₂²种方案，剩余3人有A₃³种方案，故不同的体验方案有C₄¹C₂¹A₂²A₃³ = 96（种），故选C。

7. 从10名大学毕业生中选出3人担任村主任助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为( )
A. 85
B. 56
C. 49
D. 28

答案： C【解析】
∵丙没有入选，
∴要把丙去掉，总的元素个数变为9。
∵甲、乙至少有1人入选，
∴由条件可分为两类：①甲、乙两人只有1人入选的选法有C₂¹×C₇¹ = 42（种）；②甲、乙都入选的选法有C₂²×C₇¹ = 7（种）。由分类加法计数原理知，共有42 + 7 = 49（种）不同的选法。故选C。

8. [山东枣庄三中2024高二期中]现有5名毕业生去枣庄三中、枣庄八中、滕州一中三所学校应聘,若每人至多被一所学校录用,每所学校至少录用其中一人,则不同的录取情况种数是( )
A. 420
B. 390
C. 360
D. 300

答案： B【解析】①当5人中有3人被录取，则不同的录取情况种数为A₅³ = 60；②当5人中有4人被录取，则不同的录取情况种数为C₅⁴(C₄²C₂¹/A₂²)A₃³ = 180；③当5人全部被录取，则不同的录取情况种数为(C₅²C₃³/A₂²)A₃³ + (C₅¹C₄⁴/A₂²)A₃³ = 150。综上，不同的录取情况种数为60 + 180 + 150 = 390。故选B。

9. [河北保定2024高二月考]《数术记遗》是《算经十书》中的一部,相传是汉末徐岳所著. 该书记述了我国古代14种算法,分别是:积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数. 某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人,该小组拟收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算5种算法的相关资料,要求每人至少收集其中一种,且每种算法只由一个人收集,但甲不收集九宫算和了知算的资料,则不同的分工收集方案种数为( )
A. 108
B. 136
C. 126
D. 240

答案： C【解析】分以下两种情况讨论：①若甲只收集一种算法，则甲有3种选择，将其余4种算法分为3组，再分配给乙、丙、丁三人，此时不同的收集方案种数为3C₄²A₃³ = 108；②若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算3种算法中选择2种，其余3种算法分配给乙、丙、丁三人，此时不同的收集方案种数为C₃²A₃³ = 18。综上所述，不同的分工收集方案种数为108 + 18 = 126。故选C。

10. 为了保障疫情防控期间广大市民基本生活需求,市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜,并从中任选五种,以“蔬菜包”的形式发给市民. 若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜,且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种,则可以组成________种不同的“蔬菜包”.

答案： 27【解析】当土豆和萝卜都不含有时，蔬菜包的种数为C₃²C₃³ = 3；当土豆和萝卜中只含有一种时，蔬菜包的种数为C₂¹(C₃²C₃³ + C₃¹C₃³) = 2×(3×3 + 3×1) = 24。所以可以组成不同“蔬菜包”的种数为3 + 24 = 27。
**规律方法**：
（1）对于题目中对选取“结果”有要求“至多”“至少”以及“含”与“不含”关键字的排列组合问题，通常采用“正难则反”的思想方法。注意，此时需要“正面”的分类种数多于“反面”的种数，这样才可以起到简化问题的作用。
（2）对于题目中对选取“方式”有要求“至多”“至少”的问题，可进行分类讨论。

11. 10个相同的小球放在3个编号为1,2,3的盒中,每盒至少放1个小球,有________种放法.

答案： 36【解析】依据题意，10个相同的小球放在3个盒中，每盒至少1个小球，可转化为将10个相同小球分成3组，每组至少1个。可将10个小球排成一列，进而在排除两端的9个空位中，选取2个，插入隔板即可，得共有C₉² = 36（种）放法。
**规律方法**：相同元素分组分配问题一般采用“隔板法”，可以将相同的元素理解为被串起来的糖果，只需要剪断中间的一些连接处即可达到分组分配的目的。此种方法需要满足每一个组至少分配到1个元素。对于分配元素超过或者少于1个的情况，需要拿走或补上元素，使得问题化归到“每一个组至少分配到1个元素”的情况求解。