《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. [北京海淀区2024高二月考]在下列表述中不是离散型随机变量的是 （ ）
①某机场候机室中一天的旅客数量$X$；
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数$X$；
③某篮球下降过程中离地面的距离$X$；
④某立交桥一天经过的车辆数$X$.
A. ①中的$X$
B. ②中的$X$
C. ③中的$X$
D. ④中的$X$

答案： C【解析】①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③中的X不是离散型随机变量。故选C。

2. [河北石家庄2024高二期末]设离散型随机变量$X$的分布列如表所示，则$q=$ （ ）

A. $\frac{1}{2}$
B. $1-\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案： B【解析】由离散型随机变量分布列的性质可得$1 - 2q+q^{2}+\frac{1}{2}=1$，即$2q^{2}-4q + 1 = 0$，解得$q=\frac{4\pm\sqrt{16 - 8}}{4}=1\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$。又$\begin{cases}0\leq1 - 2q\leq1\\0\leq q^{2}+\frac{1}{2}\leq1\end{cases}$，解得$0\leq q\leq\frac{1}{2}$，故$q = 1-\frac{\sqrt{2}}{2}$。故选B。

3. [湖北武汉2023高二月考]有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若$X$表示取得次品的件数，则$P(X\lt2)=$ （ ）
A. $\frac{7}{15}$
B. $\frac{8}{15}$
C. $\frac{14}{15}$
D. $\frac{15}{16}$

答案： C【解析】$P(X = 0)=\frac{C_{7}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{7}{15}$，$P(X = 1)=\frac{C_{7}^{1}C_{3}^{1}}{C_{10}^{2}}=\frac{7}{15}$，所以$P(X\lt2)=P(X = 0)+P(X = 1)=\frac{7}{15}+\frac{7}{15}=\frac{14}{15}$。故选C。

4. [上海复旦大学附属中学2023月考]在财务审计中，我们可以用“本福特定律”来检验数据是否造假. 本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是1~9这九个事件不是等可能的. 具体来说，随机变量$X$是一组没有人为编造的首位非零数字，则$P(X = k)=\log_{a}\frac{k + 1}{k}(a\gt0且a\neq1,k = 1,2,\cdots,9)$. 则根据本福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为_______.（保留至整数）

答案： 6:1【解析】由概率和为1，知$\log_{a}\frac{2}{1}+\log_{a}\frac{3}{2}+\cdots+\log_{a}\frac{10}{9}=\log_{a}10 = 1$，所以$a = 10$，故所求概率之比为$\frac{P(X = 1)}{P(X = 8)}=\frac{\frac{\lg2}{\lg9}}{\frac{\lg2}{\lg8}}=\frac{\lg2}{\lg9-\lg8}=\frac{\lg2}{2\lg3 - 3\lg2}\approx\frac{0.301}{2\times0.477 - 3\times0.301}\approx6$。

5. 袋内有10个红球，5个白球（球除颜色外完全相同），从中摸出2个球，记$X=\begin{cases}0,两球全是白球,\\1,两球不全是白球,\end{cases}$求$X$的分布列.

答案： 【解】由题设知X服从两点分布，且$P(X = 0)=\frac{C_{5}^{2}}{C_{15}^{2}}=\frac{2}{21}$，$P(X = 1)=1 - P(X = 0)=\frac{19}{21}$。所以X的分布列为：
|X|0|1|
|----|----|----|
|P|$\frac{2}{21}$|$\frac{19}{21}$|

6. [山东烟台2024高二月考]为提高学生对航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某学校组织学生参加航天科普知识挑战赛，比赛共设置$A,B,C$三个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为50分，答对问题$A,B,C$分别加10分，20分，30分，答错任一题减10分. ②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于40分或答完三题时累计分数不足80分，答题结束，挑战失败；当累计分数大于或等于80分时，答题结束，挑战成功. ③每位参加者按问题$A,B,C$顺序作答，直至挑战结束.
设甲同学能正确回答出问题$A,B,C$的概率分别为$\frac{4}{5},\frac{3}{4},\frac{1}{2}$，且回答各题正确与否互不影响.
（1）求甲同学挑战成功的概率；
（2）用$X$表示甲同学答题结束时答对问题的个数，求$X$的分布列.

答案： 【解】
(1)用$M_{i}(i = 1,2,3)$表示甲第i个问题回答正确，$N_{i}(i = 1,2,3)$表示甲第i个问题回答错误，则$P(M_{1})=\frac{4}{5}$，$P(M_{2})=\frac{3}{4}$，$P(M_{3})=\frac{1}{2}$；$P(N_{1})=\frac{1}{5}$，$P(N_{2})=\frac{1}{4}$，$P(N_{3})=\frac{1}{2}$。记事件Q：甲同学能挑战成功，则$P(Q)=P(M_{1}M_{2})+P(N_{1}M_{2}M_{3})+P(M_{1}N_{2}M_{3})=\frac{4}{5}\times\frac{3}{4}+\frac{1}{5}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}+\frac{4}{5}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{31}{40}$，即甲同学能挑战成功的概率为$\frac{31}{40}$。
(2)由题意知X的可能取值为0，1，2，则$P(X = 0)=P(N_{1}N_{2})=\frac{1}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{20}$，$P(X = 1)=P(M_{1}N_{2}N_{3})+P(N_{1}M_{2}N_{3})=\frac{4}{5}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{5}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{7}{40}$，$P(X = 2)=P(M_{1}M_{2})+P(N_{1}M_{2}M_{3})+P(M_{1}N_{2}M_{3})=\frac{4}{5}\times\frac{3}{4}+\frac{1}{5}\times\frac{3}{4}\times\frac{1}{2}+\frac{4}{5}\times\frac{1}{4}\times\frac{1}{2}=\frac{31}{40}$，所以X的分布列如下表所示。
|X|0|1|2|
|----|----|----|----|
|P|$\frac{1}{20}$|$\frac{7}{40}$|$\frac{31}{40}$|