《2025年高中必刷题高二数学选择性必修第三册人教版》

1. 把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子只放一个小球,则1号球不放入1号盒子的方法共有 （ ）
A. 18种
B. 9种
C. 6种
D. 3种

答案： A 【解析】由于 1 号球不放入 1 号盒子，则 1 号球可放入 2，3，4 号盒子，有 3 种选择，则 2 号球有 3 种选择，3 号球有 2 种选择，4 号球只有 1 种选择。根据分步乘法计数原理可得 1 号球不放入 1 号盒子的方法有 3×3×2×1 = 18（种）。故选 A。

2. [浙江七校2024高二期中联考]4名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队,每人限报其中的一个运动队,则不同的报名方法的种数是 （ ）
A. 6
B. 24
C. 64
D. 81

答案： D 【解析】由分步乘法计数原理可得，不同的报名方法的种数是 3×3×3×3 = 81。故选 D。

3. [吉林吉大附中2024高二月考]如图,用四种不同的颜色对图中5个区域涂色(四种颜色全部使用),要求每个区域涂一种颜色,相邻的区域不能涂相同的颜色,则不同的涂色方法有（ ）

A. 72种
B. 96种
C. 150种
D. 168种

答案： B 【解析】第一步：涂区域 1，有 4 种方法。
第二步：涂区域 2，有 3 种方法。
第三步：涂区域 4，有 2 种方法。
第四步（此时前三步已经用去三种颜色）：涂区域 3，分两类：
第一类，区域 3 与区域 1 同色，则区域 5 涂第四种颜色；
**避坑**：本题中要求四种颜色全部使用完。
第二类，区域 3 与区域 1 不同色，则区域 3 涂第四种颜色，此时区域 5 就可以涂区域 1 或区域 2 或区域 3 中的任意一种颜色，有 3 种方法。
所以，不同的涂色方法有 4×3×2×(1×1 + 1×3) = 96（种）。故选 B。

4. [山西长治2024高二期中]甲、乙、丙等六位同学参加校园安全知识决赛,决出第一名到第六名的名次. 甲、乙两人向老师询问成绩,老师对甲说:“你的成绩没有乙、丙的成绩高. ”对乙说:“很遗憾,你不是第一名. ”根据以上信息,6人的名次排列的情况有 （ ）
A. 300种
B. 120种
C. 240种
D. 180种

答案： D 【解析】因为老师对甲说：“你的成绩没有乙、丙的成绩高”，所以甲、乙、丙有两种相对名次的排列情况，一种是乙、丙、甲，另一种是丙、乙、甲，因此不同的名次排列情况有 2×4×5×6 = 240 种；又乙是第一名，且甲没有丙的名次高，这时不同的名次排列情况有 3×4×5 = 60 种。因此 6 人的名次排列的情况有 240 - 60 = 180 种可能。
**点悟**：正难则反思想。故选 D。

5. (多选)[河北唐山开滦二中2024高二月考]下列说法正确的是 （ ）
A. 由数字1,2,3,4能够组成24个没有重复数字的三位数
B. 由数字1,2,3,4能够组成16个没有重复数字的三位偶数
C. 由数字1,2,3,4能够组成64个三位密码
D. 由数字1,2,3,4能够组成28个比320大的三位数

答案： ACD 【解析】对于 A，由数字 1，2，3，4 能够组成没有重复数字的三位数有 4×3×2 = 24（个），故 A 正确。
对于 B，若三位数是偶数，则个位可以是 2 或 4，则可组成没有重复数字的三位偶数有 2×3×2 = 12（个），故 B 错误。
对于 C，由数字 1，2，3，4 能够组成的三位密码有 4×4×4 = 64（个），故 C 正确。
对于 D，若百位是 4，有 4×4 = 16（个）；若百位是 3，则十位可以是 2，3，4，个位可以是 1，2，3，4，共有 3×4 = 12（个），则比 320 大的三位数有 12 + 16 = 28（个），故 D 正确。故选 ACD。

6. [江西南昌2024高二月考]一杂技团有8名会表演魔术或口技的演员,其中有6人会表演口技,有5人会表演魔术,现从这8人中选出2人上台表演,1人表演口技,1人表演魔术,则不同的安排方法有________种.

答案： 27 【解析】由题可知，有 2 人只会表演魔术，3 人只会表演口技，3 人既会表演魔术又会表演口技。针对只会表演魔术的人讨论，先从只会表演魔术的人中选 1 人表演魔术有 2 种选择，再从其他的 6 人中选 1 人表演口技有 6 种选择，故共有 2×6 = 12（种）选择；不选只会表演魔术的人时，从既会表演魔术又会表演口技的 3 人中选 1 人表演魔术，有 3 种选择，再从只会表演口技的 3 人和既会表演魔术又会表演口技的剩余 2 人中选 1 人表演口技，有 5 种选择，故共有 3×5 = 15（种）选择。所以不同的安排方法有 12 + 15 = 27（种）。

7. 某校高中部,高一有6个班,高二有7个班,高三有8个班,学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.
(1)任选1个班的学生参加社会实践活动,有多少种不同的选法?
(2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践活动,有多少种不同的选法?
(3)选2个班的学生参加社会实践活动,要求这2个班不同年级,有多少种不同的选法?

答案： 【解】（1）分三类：第一类，从高一年级选 1 个班，有 6 种不同的选法；第二类，从高二年级选 1 个班，有 7 种不同的选法；第三类，从高三年级选 1 个班，有 8 种不同的选法。由分类加法计数原理知，共有 6 + 7 + 8 = 21（种）不同的选法。
（2）分三步：第一步，从高一年级选 1 个班，有 6 种不同的选法；第二步，从高二年级选 1 个班，有 7 种不同的选法；第三步，从高三年级选 1 个班，有 8 种不同的选法。由分步乘法计数原理知，共有 6×7×8 = 336（种）不同的选法。
（3）分三类，每类又分两步。第一类，从高一、高二两个年级中各选 1 个班，有 6×7 = 42（种）不同的选法；第二类，从高一、高三两个年级中各选 1 个班，有 6×8 = 48（种）不同的选法；第三类，从高二、高三两个年级中各选 1 个班，有 7×8 = 56（种）不同的选法。故共有 42 + 48 + 56 = 146（种）不同的选法。

8. [浙江2022摇篮杯数学竞赛]有三个盒子,每个盒子里有若干大小、形状都相同的卡片,第一个盒子中有三张分别标号为1,2,3的卡片;第二个盒子中有五张分别标号为1,2,3,4,5的卡片;第三个盒子中有七张分别标号为1,2,3,4,5,6,7的卡片. 现从每个盒子中随机抽取一张卡片,设从第i个盒子中取出的卡片的号码为xᵢ(i = 1,2,3),则x₁ + x₂ + x₃为奇数的概率是 （ ）
A. $\frac{29}{105}$
B. $\frac{53}{105}$
C. $\frac{19}{35}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： B 【解析】从三个盒子中各随机抽取一张卡片可分为三步完成，第一步从第一个盒子中取一张卡片，有 3 种方法，第二步从第二个盒子中取一张卡片，有 5 种方法，第三步从第三个盒子中取一张卡片，有 7 种方法，由分步乘法计数原理可得共有 3×5×7 种方法。事件 x₁ + x₂ + x₃ 为奇数等价于 x₁，x₂，x₃ 都为奇数或 x₁，x₂，x₃ 中有一个为奇数，两个为偶数。事件 x₁，x₂，x₃ 都为奇数包含 2×3×4 个样本点，即 24 个样本点；事件 x₁ 为奇数，x₂，x₃ 为偶数包含 2×2×3 个样本点，即 12 个样本点；事件 x₂ 为奇数，x₁，x₃ 为偶数包含 3×1×3 个样本点，即 9 个样本点；事件 x₃ 为奇数，x₁，x₂ 为偶数包含 1×2×4 个样本点，即 8 个样本点。所以事件 x₁ + x₂ + x₃ 为奇数包含的样本点个数为 24 + 12 + 9 + 8 = 53，所以 P = 53 / (3×5×7) = 53 / 105。故选 B。